Antilles-Guyane – 11 septembre 2026 - Exercice 1

$$u_{\red{n}}$$ représente le nombre d'individus au 1^er mars $$\left(2025+\red{n}\right)$$.
Pour $$\red{n=0}$$ : $$u_{\red{0}}$$ représente le nombre d'individus au 1^er mars $$\left(2025+\red{0}\right)$$, c'est-à-dire au 1^er mars $$2025$$.
Or, au 1^er mars $$2025$$, la population compte $$2\;500$$ individus.
Ainsi :

$$u_{\red{n}}$$ représente le nombre d'individus au 1^er mars $$\left(2025+\red{n}\right)$$.
$$2026=2025+\red{1}$$ . Il nous faut donc calculer $$u_{\red{1}}$$.
La population diminue chaque année de $$100$$ individus. Il vient alors que :
$$u_1=u_0-100$$
$$u_1=2\;500-100$$
Ainsi : Selon ce modèle, au 1^er mars $$2026$$, la population compterait $$2\;400$$ individus.

$$u_n$$ est le nombre d'individus au 1^er mars $$\left(2025+n\right)$$ et $$u_{n+1}$$ celui de l'année suivante, au 1^er mars $$\left(2025+n+1\right)$$.
La population diminue chaque année de $$100$$ individus : on obtient $$u_{n+1}$$ en retirant $$100$$ à $$u_n$$.
Ainsi, pour tout entier naturel $$n$$ :

Chaque terme se déduit du précédent en ajoutant une constante qui correspond à la raison ici $${\color{blue}{r=-100}}$$ .
D'après la question 3, pour tout entier naturel $$n$$ : $$u_{n+1}=u_n-100$$, que l'on peut écrire $$u_{n+1}=u_n+\left(-100\right)$$.
Il en résulte que :

Dans notre cas, le premier terme ici vaut $$u_0=2\;500$$ et la raison $$r=-100$$.
Il en résulte donc que : $$u_{n} =2\;500 +n\times\left(-100\right)$$
Autrement dit : Vérification : pour $$n=1$$, on trouve $$u_1=2\;500-100\times 1=2\;400$$ : on retrouve bien le résultat de la question 2.

D'après la question 4, la suite $$\left(u_{n}\right)$$ est arithmétique de raison $$r=-100$$.
Ainsi $$r=-100\lt 0$$ donc :
Dans le contexte : selon ce modèle, le nombre d'individus diminue chaque année.
Autre méthode : pour tout entier naturel $$n$$, $$u_{n+1}-u_n=-100$$ et $$-100\lt 0$$, donc $$u_{n+1}\lt u_n$$ : la suite $$\left(u_{n}\right)$$ est strictement décroissante.

Dans cette situation, nous souhaitons savoir à partir de quelle année le nombre d'individus sera inférieur à $$1\;250$$.
Pour répondre à cette question, il nous faut résoudre une inéquation : $$u_n\lt 1\;250$$
D'après la question 5, $$u_n=2\;500-100n$$. Il vient alors :
$$2\;500-100n\lt 1\;250$$
$$-100n\lt 1\;250-2\;500$$
$$-100n\lt -1\;250$$
$$n\gt \dfrac{-1\;250}{-100}$$ (on divise par $$-100$$ qui est négatif : on change le sens de l'inégalité)
$$n\gt 12{,}5$$
Comme $$n$$ est un entier naturel, le plus petit entier qui convient est $$\red{n=13}$$.
Vérification : $$u_{12}=2\;500-100\times 12=1\;300$$ et $$u_{13}=2\;500-100\times 13=1\;200$$.
Or $$u_{\red{n}}$$ représente le nombre d'individus au 1^er mars $$\left(2025+\red{n}\right)$$.
D'où $$2025+\red{13}=2038$$ .