Tests médicaux : faux positifs et faux négatifs - Exercice 1

10 min
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Une maladie touche 2 %2\,\% de la population. Un test de dépistage est positif chez 95 %95\,\% des personnes malades et chez 10 %10\,\% des personnes non malades.
On choisit une personne au hasard dans la population et on lui fait passer le test.
On considère les évènements suivants :
  • MM : « la personne est malade » ;
  • TT : « le test est positif ».
    • Question 1

    Représenter la situation par un arbre pondéré.

    Correction
    • La somme des probabilités issues d'un même nœud est égale à 11.
    • La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur ses branches : P(A∩B)=P(A)×PA(B)P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\times P_{A}\left(B\right).
    • La probabilité d'un évènement est la somme des probabilités des chemins qui le réalisent (formule des probabilités totales) : P(B)=P(A∩B)+P(A‾∩B)P\left(B\right)=P\left(A\cap B\right)+P\left(\overline{A}\cap B\right).
  • P(M)=0,02P\left(M\right)=0{,}02 et P(M‾)=1−0,02=0,98P\left(\overline{M}\right)=1-0{,}02=0{,}98 ;
  • PM(T)=0,95P_{M}\left(T\right)=0{,}95 et PM(T‾)=1−0,95=0,05P_{M}\left(\overline{T}\right)=1-0{,}95=0{,}05 ;
  • PM‾(T)=0,1P_{\overline{M}}\left(T\right)=0{,}1 et PM‾(T‾)=1−0,1=0,9P_{\overline{M}}\left(\overline{T}\right)=1-0{,}1=0{,}9.

    • Question 2

    Calculer la probabilité d'un faux positif, P(M‾∩T)P\left(\overline{M}\cap T\right), et celle d'un faux négatif, P(M∩T‾)P\left(M\cap\overline{T}\right).

    Correction
    • Un faux positif{\color{blue}{\text{faux positif}}} est une personne non malade dont le test est positif : évènement M‾∩T\overline{M}\cap T.
    • Un faux neˊgatif{\color{blue}{\text{faux négatif}}} est une personne malade dont le test est négatif : évènement M∩T‾M\cap\overline{T}.
    • La probabilité d'être malade sachant{\color{blue}{\text{sachant}}} que le test est positif est PT(M)=P(M∩T)P(T)P_{T}\left(M\right)=\dfrac{P\left(M\cap T\right)}{P\left(T\right)} : elle dépend beaucoup de la proportion de malades.
    P(M‾∩T)=P(M‾)×PM‾(T)=0,98×0,1P\left(\overline{M}\cap T\right)=P\left(\overline{M}\right)\times P_{\overline{M}}\left(T\right)=0{,}98\times 0{,}1
    P(M‾∩T)=0,098P\left(\overline{M}\cap T\right)=0{,}098

    P(M∩T‾)=P(M)×PM(T‾)=0,02×0,05P\left(M\cap\overline{T}\right)=P\left(M\right)\times P_{M}\left(\overline{T}\right)=0{,}02\times 0{,}05
    P(M∩T‾)=0,001P\left(M\cap\overline{T}\right)=0{,}001

    Question 3

    Calculer P(M∩T)P\left(M\cap T\right), puis montrer que P(T)=0,117P\left(T\right)=0{,}117.

    Correction
    P(M∩T)=0,02×0,95=0,019P\left(M\cap T\right)=0{,}02\times 0{,}95=0{,}019.
    Deux chemins mènent à TT :
    P(T)=P(M∩T)+P(M‾∩T)=0,019+0,098P\left(T\right)=P\left(M\cap T\right)+P\left(\overline{M}\cap T\right)=0{,}019+0{,}098
    P(T)=0,117P\left(T\right)=0{,}117
    Question 4

    Le test d'une personne est positif. Quelle est la probabilité qu'elle soit malade ? Arrondir au millième, puis commenter.

    Correction
    Il s'agit ici d'une forme avec un « sachant », c'est-à-dire une probabilité conditionnelle.
    On pourrait traduire la question de la manière suivante : sachant{\color{blue}{\text{sachant}}} que le test est positif, quelle est la probabilité que la personne soit malade ?
    On cherche PT(M)P_{T}\left(M\right).
    PT(M)=P(M∩T)P(T)=0,0190,117P_{T}\left(M\right)=\dfrac{P\left(M\cap T\right)}{P\left(T\right)}=\dfrac{0{,}019}{0{,}117}
    PT(M)≈0,162P_{T}\left(M\right)\approx 0{,}162

    Commentaire : seulement 16 %16\,\% environ des personnes testées positives sont réellement malades. Comme la maladie est rare, les faux positifs (0,0980{,}098) sont bien plus nombreux que les vrais positifs (0,0190{,}019). Un test positif doit donc être confirmé par un second examen.

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