Sujet Métropole – 11 septembre 2026 - Exercice 1

On place d'abord dans le tableau les données de l'énoncé (en bleu) :

$$300$$ échantillons provenaient de rivières : c'est le total de la colonne « Rivière » ;

parmi les échantillons des lacs, $$80$$ sont de qualité insatisfaisante : c'est la case « Lac » de la ligne « Qualité insatisfaisante » ;

$$280$$ échantillons sont de qualité satisfaisante : c'est le total de la ligne « Qualité satisfaisante ».

On en déduit les autres cases par des soustractions :

nombre d'échantillons prélevés dans les lacs : $$500-300=200$$ ;

nombre d'échantillons des lacs de qualité satisfaisante : $$200-80=120$$ ;

nombre d'échantillons des rivières de qualité satisfaisante : $$280-120=160$$ ;

nombre total d'échantillons de qualité insatisfaisante : $$500-280=220$$ ;

nombre d'échantillons des rivières de qualité insatisfaisante : $$300-160=140$$.

Vérification : $$140+80=220$$ : on retrouve bien le total de la ligne « Qualité insatisfaisante ».
Ce qui nous donne :

La probabilité que l'échantillon provienne d'une rivière se traduit par $$P\left(R\right)$$.
L'échantillon est choisi au hasard : les $$500$$ échantillons ont la même probabilité d'être choisis.
$$P\left(R\right)=\dfrac{\blue{\text{nombre des issues favorables pour }R}}{\red{\text{nombre des issues possibles}}}$$
$$P\left(R\right)=\dfrac{\color{blue}300}{\color{red}500}$$ . Nous allons simplifier l'écriture de la fraction : $$\dfrac{300}{500}=\dfrac{3\times 100}{5\times 100}$$. Il vient alors que :

L'évènement $$\overline{S}$$ est l'évènement contraire de $$S$$ : l'échantillon choisi n'est pas classé de qualité satisfaisante.
$$P\left(\overline{S}\right)=\dfrac{\blue{\text{nombre des issues favorables pour }\overline{S}}}{\red{\text{nombre des issues possibles}}}$$
$$P\left(\overline{S}\right)=\dfrac{\color{blue}220}{\color{red}500}$$
$$P\left(\overline{S}\right)=\dfrac{11\times 20}{25\times 20}$$
Ainsi : Autre méthode : on peut aussi passer par l'évènement contraire.D'après le tableau, $$280$$ échantillons sont de qualité satisfaisante, donc $$P\left(S\right)=\dfrac{280}{500}=\dfrac{14}{25}$$.
Il en résulte donc que :
$$P\left(\overline{S}\right)=1-P\left(S\right)$$
$$P\left(\overline{S}\right)=1-\dfrac{14}{25}$$
$$P\left(\overline{S}\right)=\dfrac{25}{25}-\dfrac{14}{25}$$
$$P\left(\overline{S}\right)=\dfrac{11}{25}$$

L'évènement $$S\cap\overline{R}$$ correspond à l'évènement : l'échantillon choisi est de qualité satisfaisante $${\color{blue}{\text{et}}}$$ il ne provient pas d'une rivière, c'est-à-dire qu'il provient d'un lac.
$$P\left(S\cap\overline{R}\right)=\dfrac{\blue{\text{nombre des issues favorables pour }S\cap\overline{R}}}{\red{\text{nombre des issues possibles}}}$$
$$P\left(S\cap\overline{R}\right)=\dfrac{\color{blue}120}{\color{red}500}$$
$$P\left(S\cap\overline{R}\right)=\dfrac{6\times 20}{25\times 20}$$
Ainsi : Interprétation : la probabilité que l'échantillon choisi provienne d'un lac $${\color{blue}{\text{et}}}$$ soit de qualité satisfaisante est égale à $$\dfrac{6}{25}$$, soit $$0{,}24$$.
Autrement dit, $$24\,\%$$ des échantillons analysés proviennent d'un lac et sont de qualité satisfaisante.

La probabilité $$x$$ est inscrite sur la branche qui va de $$R$$ vers $$\overline{S}$$.

C'est la probabilité que l'échantillon choisi soit de qualité insatisfaisante $${\color{blue}{\text{sachant}}}$$ qu'il provient d'une rivière.

Il s'agit ici d'une forme avec un « sachant », c'est-à-dire une probabilité conditionnelle.
On pourrait traduire la question de la manière suivante : $${\color{blue}{\text{sachant}}}$$ que l'échantillon choisi provient d'une rivière, quelle est la probabilité qu'il soit de qualité insatisfaisante ?
Il vient alors que :
$$x=P_{R}\left(\overline{S}\right)=\dfrac{P\left(\overline{S}\cap R\right)}{P\left(R\right)}$$
D'après le tableau, $$140$$ échantillons proviennent d'une rivière et sont de qualité insatisfaisante, donc $$P\left(\overline{S}\cap R\right)=\dfrac{140}{500}$$, et d'après la question 2, $$P\left(R\right)=\dfrac{300}{500}$$.
$$x=\dfrac{\dfrac{140}{500}}{\dfrac{300}{500}}$$
$$x=\dfrac{140}{300}$$
$$x=\dfrac{7\times 20}{15\times 20}$$
D'où : Remarque : on peut lire ce résultat directement dans le tableau : parmi les $${\color{red}300}$$ échantillons qui proviennent d'une rivière, $${\color{blue}140}$$ sont de qualité insatisfaisante.$$x=\dfrac{\color{blue}140}{\color{red}300}=\dfrac{7}{15}$$

Premier niveau :
D'après la question 2, $$P\left(R\right)=\dfrac{3}{5}$$. Ainsi :
$$P\left(\overline{R}\right)=1-P\left(R\right)=1-\dfrac{3}{5}=\dfrac{2}{5}$$
Branches issues de $$R$$ :
D'après la question 6, $$P_{R}\left(\overline{S}\right)=\dfrac{7}{15}$$. Ainsi :
$$P_{R}\left(S\right)=1-P_{R}\left(\overline{S}\right)=1-\dfrac{7}{15}=\dfrac{8}{15}$$
Branches issues de $$\overline{R}$$ :
Parmi les $${\color{red}200}$$ échantillons prélevés dans les lacs, $${\color{blue}80}$$ sont de qualité insatisfaisante.$$P_{\overline{R}}\left(\overline{S}\right)=\dfrac{\color{blue}80}{\color{red}200}=\dfrac{2}{5}$$
$$P_{\overline{R}}\left(S\right)=1-P_{\overline{R}}\left(\overline{S}\right)=1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}$$
Ce qui nous donne :

L'évènement « l'échantillon provient d'une rivière » est l'évènement $$R$$ et l'évènement « l'échantillon est de qualité insatisfaisante » est l'évènement $$\overline{S}$$.
D'après les questions précédentes, on a : $$P\left(\overline{S}\right)=\dfrac{11}{25}$$ et $$P_{R}\left(\overline{S}\right)=\dfrac{7}{15}$$.
Pour comparer ces deux fractions, on les écrit avec le même dénominateur $$75$$ :
$$\dfrac{11}{25}=\dfrac{11\times 3}{25\times 3}=\dfrac{33}{75}$$ et $$\dfrac{7}{15}=\dfrac{7\times 5}{15\times 5}=\dfrac{35}{75}$$
Ainsi :
Il en résulte que les évènements « l'échantillon provient d'une rivière » et « l'échantillon est de qualité insatisfaisante » ne sont pas indépendants.
Dans le contexte : la proportion d'échantillons de qualité insatisfaisante parmi ceux des rivières ($$\dfrac{7}{15}$$, soit environ $$46{,}7\,\%$$) n'est pas la même que parmi l'ensemble des échantillons ($$\dfrac{11}{25}$$, soit $$44\,\%$$).Autre méthode : on compare $$P\left(R\cap\overline{S}\right)$$ et $$P\left(R\right)\times P\left(\overline{S}\right)$$.
$$P\left(R\cap\overline{S}\right)=\dfrac{140}{500}=\dfrac{7}{25}=\dfrac{35}{125}$$ et $$P\left(R\right)\times P\left(\overline{S}\right)=\dfrac{3}{5}\times\dfrac{11}{25}=\dfrac{33}{125}$$
Ces deux nombres sont différents : on retrouve que les évènements $$R$$ et $$\overline{S}$$ ne sont pas indépendants.