Simuler une expérience aléatoire avec Python - Exercice 1

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On considère la fonction Python ci-dessous, qui simule nn lancers d'une pièce équilibrée : le nombre 11 code « pile » et le nombre 00 code « face ».
from random import randint

def frequence_pile(n):
        c = 0
        for i in range(n):
                if randint(0, 1) == 1:
                        c = c + 1
        return c / n
Question 1

Que représente la variable c ? Que renvoie l'appel frequence_pile(n) ?

Correction
  • En Python, random() renvoie un nombre décimal au hasard dans [0;1[\left[0;1\right[ et randint(a, b) un entier au hasard entre aa et bb (inclus).
  • Quand on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence d'une issue se rapproche de sa probabilité : c'est la loi des grands nombres.
  • Un modèle de probabilité est une hypothèse : on peut le mettre en doute si, sur un grand échantillon de taille nn, la fréquence observée s'écarte de la probabilité de plus de 1n\dfrac{1}{\sqrt{n}} (ce qui arrive rarement si le modèle est bon).
À chaque passage dans la boucle, randint(0, 1) simule un lancer : il renvoie 11 (pile) ou 00 (face), chacun avec la probabilité 12\dfrac{1}{2}. La variable c compte le nombre de « pile » obtenus.
frequence_pile(n) renvoie la fréquence de « pile » sur nn lancers simulés.
Question 2

On a obtenu les résultats suivants :
Que constate-t-on quand nn augmente ?

Correction
Les fréquences valent 0,70{,}7 ; 0,460{,}46 ; 0,5120{,}512 ; 0,498 70{,}498\,7 : elles se rapprochent de 0,50{,}5 quand nn augmente.
La fréquence de « pile » se rapproche de la probabilité 0,50{,}5 : c'est la loi des grands nombres.
Question 3

Pour n=10n=10, la fréquence vaut 0,70{,}7. Peut-on en conclure que la pièce est truquée ?

Correction
Non : sur seulement 1010 lancers, la fréquence fluctue beaucoup d'une simulation à l'autre. Obtenir 77 piles sur 1010 lancers n'est pas rare avec une pièce équilibrée.
Pour n=10n=10 : 110≈0,32\dfrac{1}{\sqrt{10}}\approx 0{,}32 et l'écart entre la fréquence et la probabilité vaut 0,7−0,5=0,20{,}7-0{,}5=0{,}2, inférieur à 0,320{,}32 : ce résultat est compatible avec une pièce équilibrée.
Sur un petit nombre de lancers, une fréquence éloignée de 0,50{,}5 ne permet pas de conclure.

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