Répéter des épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes ( $n\leqslant 4$ ) - Exercice 1

10 min

On lance trois fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. À chaque lancer, on note

P

si la pièce tombe sur « pile » et

F

si elle tombe sur « face ».

Question 1

Justifier qu'il s'agit de la répétition de trois épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, puis représenter la situation par un arbre.

Correction

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues : le succès $S$ , de probabilité $p$ , et l'échec $\overline{S}$ , de probabilité $1-p$ .
Quand on répète $n$ fois la même épreuve de façon indépendante ( $n\leqslant 4$ ), on la représente par un arbre : la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches.
La probabilité d'un évènement est la somme des probabilités des chemins qui le réalisent ; pour « au moins un succès », on passe par l'évènement contraire « aucun succès ».

Chaque lancer a deux issues : « pile » (succès) avec la probabilité

\dfrac{1}{2}

, « face » (échec) avec la probabilité

\dfrac{1}{2}

. Les trois lancers se font dans les mêmes conditions et ne s'influencent pas : c'est la répétition de

3

épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre

p=\dfrac{1}{2}

L'arbre comporte

2\times 2\times 2=8

chemins.

Question 2

Correction

Un seul chemin réalise cet évènement :

PPP

P\left(PPP\right)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}

P\left(PPP\right)=\dfrac{1}{8}

Question 3

Correction

Trois chemins réalisent cet évènement :

PPF

PFP

FPP

. Chacun a pour probabilité

\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}=\dfrac{1}{8}

P\left(\text{deux piles}\right)=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}

P\left(\text{deux piles}\right)=\dfrac{3}{8}

Question 4

Correction

L'évènement contraire de « au moins un pile » est « aucun pile », c'est-à-dire

FFF

, de probabilité

\dfrac{1}{8}

P\left(\text{au moins un pile}\right)=1-\dfrac{1}{8}

P\left(\text{au moins un pile}\right)=\dfrac{7}{8}

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