Polynésie – 4 septembre 2026 - Exercice 1

20 min
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Un magasin d'ameublement interroge 1  0001\;000 clients ayant réalisé un achat au cours des 1212 derniers mois, soit en magasin, soit sur internet (un seul mode d'achat par client).
Parmi les 1  0001\;000 clients, 400400 ont acheté sur internet.
90 %90\,\% des acheteurs sur internet sont satisfaits et 20 %20\,\% des acheteurs en magasin ne sont pas satisfaits.
On choisit au hasard un client et on considère les évènements :
  • II : « le client a acheté sur internet » ;
  • SS : « le client est satisfait ».
    • I‾\overline{I} et S‾\overline{S} sont les évènements contraires respectifs de II et de SS.
    Question 1

    Compléter le tableau représentant la situation :

    Correction
    • Dans un tableau à double entrée, le total d'une ligne (ou d'une colonne) est la somme des effectifs de cette ligne (ou de cette colonne).
    Colonne « Achat sur internet » :
    400400 clients ont acheté sur internet et 90 %90\,\% d'entre eux sont satisfaits :
    400×90100=360400\times\dfrac{90}{100}=360 clients satisfaits et 400−360=40400-360=40 clients non satisfaits.
    Colonne « Achat en magasin » :
    1  000−400=6001\;000-400=600 clients ont acheté en magasin et 20 %20\,\% d'entre eux ne sont pas satisfaits :
    600×20100=120600\times\dfrac{20}{100}=120 clients non satisfaits et 600−120=480600-120=480 clients satisfaits.
    Colonne « Total » :
    360+480=840360+480=840 clients satisfaits et 40+120=16040+120=160 clients non satisfaits.
    Vérification : 840+160=1  000840+160=1\;000.
    Ce qui nous donne :
    Question 2

    Calculer la probabilité que le client ait acheté en magasin et soit satisfait.

    Correction
    L'évènement « le client a acheté en magasin et il est satisfait » correspond à l'évènement : le client n'a pas acheté sur internet et{\color{blue}{\text{et}}} il est satisfait, c'est-à-dire I‾∩S\overline{I}\cap S.
    Le client est choisi au hasard : les 1  0001\;000 clients ont la même probabilité d'être choisis.
    P(I‾∩S)=nombre des issues favorables pour I‾∩Snombre des issues possiblesP\left(\overline{I}\cap S\right)=\dfrac{\blue{\text{nombre des issues favorables pour }\overline{I}\cap S}}{\red{\text{nombre des issues possibles}}}
    P(I‾∩S)=4801  000P\left(\overline{I}\cap S\right)=\dfrac{\color{blue}480}{\color{red}1\;000}
    Ainsi :
    P(I‾∩S)=0,48P\left(\overline{I}\cap S\right)=0{,}48
    Question 3

    Sachant que le client n'est pas satisfait, calculer la probabilité qu'il ait fait son achat sur internet.

    Correction
    Il s'agit ici d'une forme avec un « sachant », c'est-à-dire une probabilité conditionnelle.
    On pourrait traduire la question de la manière suivante : sachant{\color{blue}{\text{sachant}}} que le client n'est pas satisfait, quelle est la probabilité qu'il ait fait son achat sur internet ?
    • PB(A)=P(A∩B)P(B)P_{B}\left(A\right)=\dfrac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}
    On cherche donc PS‾(I)P_{\overline{S}}\left(I\right). Il vient alors que :
    PS‾(I)=P(I∩S‾)P(S‾)P_{\overline{S}}\left(I\right)=\dfrac{P\left(I\cap\overline{S}\right)}{P\left(\overline{S}\right)}
    D'après le tableau, P(I∩S‾)=401  000P\left(I\cap\overline{S}\right)=\dfrac{40}{1\;000} et P(S‾)=1601  000P\left(\overline{S}\right)=\dfrac{160}{1\;000}.
    PS‾(I)=401  0001601  000P_{\overline{S}}\left(I\right)=\dfrac{\dfrac{40}{1\;000}}{\dfrac{160}{1\;000}}
    PS‾(I)=40160P_{\overline{S}}\left(I\right)=\dfrac{40}{160}
    D'où :
    PS‾(I)=14=0,25P_{\overline{S}}\left(I\right)=\dfrac{1}{4}=0{,}25
    Remarque : parmi les 160{\color{red}160} clients non satisfaits, 40{\color{blue}40} ont acheté sur internet.
    Question 4

    Une stratégie d'amélioration sera mise en place si plus de 10 %10\,\% des clients ne sont pas satisfaits de leur achat.
    Cette stratégie sera-t-elle mise en place ? Justifier.

    Correction
    Il nous faut calculer la proportion de clients qui ne sont pas satisfaits, c'est-à-dire P(S‾)P\left(\overline{S}\right).
    P(S‾)=1601  000=0,16P\left(\overline{S}\right)=\dfrac{\color{blue}160}{\color{red}1\;000}=0{,}16
    Ainsi :
    16 %16\,\% des clients ne sont pas satisfaits.

    Or 16 %>10 %16\,\%\gt 10\,\% : la stratégie d'amélioration sera donc mise en place.

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