Polynésie – 12 juin 2026 - Exercice 1

Calcul de $$x$$ :
Dans la ligne « Graines qui germent », le total est $$250$$. Il vient alors que :
$$x+100=250$$
$$x=250-100$$
Vérification : dans la colonne « Graines de basilic », $$150+450=600$$ : on retrouve bien le total.
Calcul de $$y$$ :
Dans la colonne « Graines d'estragon », le total est $$400$$. Il vient alors que :
$$100+y=400$$
$$y=400-100$$
Vérification : dans la ligne « Graines qui ne germent pas », $$450+300=750$$ : on retrouve bien le total.
Interprétation : dans ce stock, $$150$$ graines de basilic germent et $$300$$ graines d'estragon ne germent pas.

La graine est semée au hasard : les $$1\;000$$ graines ont la même probabilité d'être semées.
$$P\left(B\right)=\dfrac{\blue{\text{nombre des issues favorables pour }B}}{\red{\text{nombre des issues possibles}}}$$
$$P\left(B\right)=\dfrac{\color{blue}600}{\color{red}1\;000}$$
Ainsi :
$$P\left(E\right)=\dfrac{\blue{\text{nombre des issues favorables pour }E}}{\red{\text{nombre des issues possibles}}}$$
$$P\left(E\right)=\dfrac{\color{blue}400}{\color{red}1\;000}$$
Ainsi : Remarque : une graine est soit de basilic, soit d'estragon : $$E=\overline{B}$$ et $$P\left(E\right)=1-P\left(B\right)=1-0{,}6=0{,}4$$.

L'évènement $$E\cap G$$ correspond à l'évènement : la graine est une graine d'estragon $${\color{blue}{\text{et}}}$$ elle germe.
$$P\left(E\cap G\right)=\dfrac{\blue{\text{nombre des issues favorables pour }E\cap G}}{\red{\text{nombre des issues possibles}}}$$
$$P\left(E\cap G\right)=\dfrac{\color{blue}100}{\color{red}1\;000}$$
Ainsi :

Il s'agit ici d'une forme avec un « sachant », c'est-à-dire une probabilité conditionnelle.
On pourrait traduire la question de la manière suivante : $${\color{blue}{\text{sachant}}}$$ que la graine semée a germé, quelle est la probabilité que ce soit une graine d'estragon ?
On cherche donc $$P_{G}\left(E\right)$$. Il vient alors que :
$$P_{G}\left(E\right)=\dfrac{P\left(E\cap G\right)}{P\left(G\right)}$$
D'après le tableau, $$P\left(E\cap G\right)=\dfrac{100}{1\;000}$$ et $$P\left(G\right)=\dfrac{250}{1\;000}$$.
$$P_{G}\left(E\right)=\dfrac{\dfrac{100}{1\;000}}{\dfrac{250}{1\;000}}$$
$$P_{G}\left(E\right)=\dfrac{100}{250}$$
D'où : Remarque : parmi les $${\color{red}250}$$ graines qui germent, $${\color{blue}100}$$ sont des graines d'estragon.

Il s'agit ici d'une forme avec un « sachant », c'est-à-dire une probabilité conditionnelle.
On pourrait traduire la question de la manière suivante : $${\color{blue}{\text{sachant}}}$$ que la graine semée est une graine d'estragon, quelle est la probabilité qu'elle germe ?
On cherche donc $$P_{E}\left(G\right)$$. Il vient alors que :
$$P_{E}\left(G\right)=\dfrac{P\left(G\cap E\right)}{P\left(E\right)}$$
D'après le tableau, $$P\left(G\cap E\right)=\dfrac{100}{1\;000}$$ et $$P\left(E\right)=\dfrac{400}{1\;000}$$.
$$P_{E}\left(G\right)=\dfrac{\dfrac{100}{1\;000}}{\dfrac{400}{1\;000}}$$
$$P_{E}\left(G\right)=\dfrac{100}{400}$$
D'où : Remarque : parmi les $${\color{red}400}$$ graines d'estragon, $${\color{blue}100}$$ germent.

Affirmer que la germination ne dépend pas du type de graine revient à dire que les évènements $$G$$ et $$E$$ sont indépendants.
Nous allons donc comparer $$P_{E}\left(G\right)$$ et $$P\left(G\right)$$.
D'après la question 5, $$P_{E}\left(G\right)=0{,}25$$.
$$P\left(G\right)=\dfrac{\color{blue}250}{\color{red}1\;000}=\dfrac{1}{4}=0{,}25$$
Ainsi :
Il en résulte que les évènements $$G$$ et $$E$$ sont indépendants : l'affirmation du jardinier est vraie.
Dans le contexte : $$25\,\%$$ des graines d'estragon germent, comme $$25\,\%$$ de l'ensemble des graines. Pour le basilic aussi : $$\dfrac{150}{600}=0{,}25$$.