Métropole (secours) – 12 juin 2026 - Exercice 1

15 min

Dans un lycée, on a questionné

200

élèves (

100

garçons et

100

filles) sur leur principal mode de déplacement pour venir au lycée.
Voici les résultats obtenus :

On choisit un élève au hasard parmi les élèves concernés par cette enquête.
On considère les évènements suivants :

M

: « l'élève vient en marchant » ;

T

: « l'élève vient en transport en commun » ;

A

: « l'élève arrive en automobile » ;

V

: « l'élève vient à vélo » ;

F

: « l'élève est une fille » ;

G

: « l'élève est un garçon ».

Les résultats demandés seront exprimés sous forme fractionnaire.
La forme irréductible n'est pas attendue.

Question 1

Déterminer la probabilité que l'élève soit une fille et vienne à vélo.

Correction

L'évènement « l'élève est une fille et vient à vélo » correspond à l'évènement

F\cap V

: l'élève est une fille

{\color{blue}{\text{et}}}

il vient à vélo.
L'élève est choisi au hasard : les

200

élèves ont la même probabilité d'être choisis.

P\left(F\cap V\right)=\dfrac{\blue{\text{nombre des issues favorables pour }F\cap V}}{\red{\text{nombre des issues possibles}}}

Ainsi :

P\left(F\cap V\right)=\dfrac{\color{blue}8}{\color{red}200}

Question 2

Déterminer la probabilité que l'élève vienne en transport en commun.

Correction

D'après le tableau,

86

élèves viennent en transport en commun.

P\left(T\right)=\dfrac{\blue{\text{nombre des issues favorables pour }T}}{\red{\text{nombre des issues possibles}}}

Ainsi :

P\left(T\right)=\dfrac{\color{blue}86}{\color{red}200}

Question 3

Déterminer la probabilité que l'élève vienne en transport en commun sachant que c'est un garçon.

Correction

Il s'agit ici d'une forme avec un « sachant », c'est-à-dire une probabilité conditionnelle.
On pourrait traduire la question de la manière suivante :

{\color{blue}{\text{sachant}}}

que l'élève choisi est un garçon, quelle est la probabilité qu'il vienne en transport en commun ?
On cherche donc

P_{G}\left(T\right)

. On se place parmi les

{\color{red}100}

garçons :

{\color{blue}41}

d'entre eux viennent en transport en commun.

Ainsi :

P_{G}\left(T\right)=\dfrac{\color{blue}41}{\color{red}100}

Avec la formule :

P_{G}\left(T\right)=\dfrac{P\left(T\cap G\right)}{P\left(G\right)}=\dfrac{\dfrac{41}{200}}{\dfrac{100}{200}}=\dfrac{41}{100}

Question 4

Déterminer la probabilité que l'élève soit un garçon et n'arrive pas en automobile.

Correction

L'évènement « l'élève est un garçon et n'arrive pas en automobile » correspond à l'évènement

G\cap\overline{A}

.
Parmi les

100

garçons,

21

arrivent en automobile :

100-21=79

garçons n'arrivent pas en automobile.

P\left(G\cap\overline{A}\right)=\dfrac{\blue{\text{nombre des issues favorables pour }G\cap\overline{A}}}{\red{\text{nombre des issues possibles}}}

Ainsi :

P\left(G\cap\overline{A}\right)=\dfrac{\color{blue}79}{\color{red}200}

Vérification :

16+41+18+4=79

(marche, transport en commun, vélo et autres).

Question 5

Les deux évènements « l'élève vient en transport en commun » et « l'élève est un garçon » sont-ils indépendants ?

Correction

A

B

P\left(B\right)\neq 0

$P_{B}\left(A\right)=P\left(A\right)$

Nous allons donc comparer

P_{G}\left(T\right)

P\left(T\right)

.
D'après les questions précédentes,

P_{G}\left(T\right)=\dfrac{41}{100}=\dfrac{82}{200}

P\left(T\right)=\dfrac{86}{200}

.
Ainsi :

P_{G}\left(T\right)\neq P\left(T\right)

Il en résulte que les évènements « l'élève vient en transport en commun » et « l'élève est un garçon » ne sont pas indépendants.
Dans le contexte : $41\,\%$ des garçons viennent en transport en commun, contre $43\,\%$ de l'ensemble des élèves.

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