Métropole – 12 juin 2026 - Exercice 1

30 min
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Dans un lycée, 120120 élèves sont sportifs de haut niveau et sont séparés en deux sections : la section aquatique et la section judo.
Pour chaque section, les élèves peuvent être en seconde, en première ou en terminale.
La répartition de ces 120120 élèves est donnée dans le tableau ci-dessous.
On choisit au hasard un élève parmi les sportifs de haut niveau.
On considère les évènements suivants :
  • SS : « l'élève est en seconde » ;
  • PP : « l'élève est en première » ;
  • TT : « l'élève est en terminale » ;
  • AA : « l'élève est en section aquatique » ;
  • JJ : « l'élève est en section judo ».
    • Pour un évènement quelconque EE : on note P(E)P\left(E\right) la probabilité de EE et PF(E)P_{F}\left(E\right) la probabilité de EE sachant l'évènement FF.
    Question 1

    Reproduire le tableau ci-dessus en complétant les données manquantes.

    Correction
    • Dans un tableau à double entrée, le total d'une ligne (ou d'une colonne) est la somme des effectifs de cette ligne (ou de cette colonne).
    On complète les cases une par une, par des soustractions :
  • section judo, seconde : 50−40=1050-40=10 ;
  • section judo, première : 24−10−8=624-10-8=6 ;
  • section aquatique, total : 120−24=96120-24=96 ;
  • section aquatique, terminale : 14−8=614-8=6 ;
  • section aquatique, première : 96−40−6=5096-40-6=50 ;
  • total des premières : 6+50=566+50=56.
    • Vérification : 50+56+14=12050+56+14=120 : on retrouve bien le total général.
    Ce qui nous donne :
    Question 2
    Dans les questions qui suivent, les résultats seront donnés sous forme de fraction.

    Décrire l'évènement A∩SA\cap S à l'aide d'une phrase puis calculer sa probabilité.

    Correction
    L'évènement A∩SA\cap S correspond à l'évènement : l'élève est en section aquatique et{\color{blue}{\text{et}}} il est en seconde.
    A∩SA\cap S : « l'élève est en seconde, en section aquatique ».

    L'élève est choisi au hasard : les 120120 élèves ont la même probabilité d'être choisis.
    P(A∩S)=nombre des issues favorables pour A∩Snombre des issues possiblesP\left(A\cap S\right)=\dfrac{\blue{\text{nombre des issues favorables pour }A\cap S}}{\red{\text{nombre des issues possibles}}}
    P(A∩S)=40120P\left(A\cap S\right)=\dfrac{\color{blue}40}{\color{red}120}
    Ainsi :
    P(A∩S)=13P\left(A\cap S\right)=\dfrac{1}{3}
    Question 3

    On choisit au hasard un élève sportif en seconde, calculer la probabilité qu'il soit en section aquatique.

    Correction
    Il s'agit ici d'une forme avec un « sachant », c'est-à-dire une probabilité conditionnelle.
    On pourrait traduire la question de la manière suivante : sachant{\color{blue}{\text{sachant}}} que l'élève choisi est en seconde, quelle est la probabilité qu'il soit en section aquatique ?
    • PB(A)=P(A∩B)P(B)P_{B}\left(A\right)=\dfrac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}
    On cherche donc PS(A)P_{S}\left(A\right). Il vient alors que :
    PS(A)=P(A∩S)P(S)P_{S}\left(A\right)=\dfrac{P\left(A\cap S\right)}{P\left(S\right)}
    D'après le tableau, P(A∩S)=40120P\left(A\cap S\right)=\dfrac{40}{120} et P(S)=50120P\left(S\right)=\dfrac{50}{120}.
    PS(A)=4012050120P_{S}\left(A\right)=\dfrac{\dfrac{40}{120}}{\dfrac{50}{120}}
    PS(A)=4050P_{S}\left(A\right)=\dfrac{40}{50}
    D'où :
    PS(A)=45P_{S}\left(A\right)=\dfrac{4}{5}
    Remarque : parmi les 50{\color{red}50} élèves de seconde, 40{\color{blue}40} sont en section aquatique.
    Question 4

    Calculer la probabilité de l'évènement JJ.

    Correction
    D'après le tableau, 2424 élèves sont en section judo.
    P(J)=nombre des issues favorables pour Jnombre des issues possiblesP\left(J\right)=\dfrac{\blue{\text{nombre des issues favorables pour }J}}{\red{\text{nombre des issues possibles}}}
    P(J)=24120P\left(J\right)=\dfrac{\color{blue}24}{\color{red}120}
    Ainsi :
    P(J)=15P\left(J\right)=\dfrac{1}{5}
    Question 5

    Calculer PT(J)P_{T}\left(J\right).

    Correction
    Il s'agit ici d'une forme avec un « sachant », c'est-à-dire une probabilité conditionnelle.
    On pourrait traduire la question de la manière suivante : sachant{\color{blue}{\text{sachant}}} que l'élève choisi est en terminale, quelle est la probabilité qu'il soit en section judo ?
    • PB(A)=P(A∩B)P(B)P_{B}\left(A\right)=\dfrac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}
    Il vient alors que :
    PT(J)=P(J∩T)P(T)P_{T}\left(J\right)=\dfrac{P\left(J\cap T\right)}{P\left(T\right)}
    D'après le tableau, P(J∩T)=8120P\left(J\cap T\right)=\dfrac{8}{120} et P(T)=14120P\left(T\right)=\dfrac{14}{120}.
    PT(J)=812014120P_{T}\left(J\right)=\dfrac{\dfrac{8}{120}}{\dfrac{14}{120}}
    PT(J)=814P_{T}\left(J\right)=\dfrac{8}{14}
    D'où :
    PT(J)=47P_{T}\left(J\right)=\dfrac{4}{7}
    Remarque : parmi les 14{\color{red}14} élèves de terminale, 8{\color{blue}8} sont en section judo.
    Question 6

    Les évènements JJ et TT sont-ils indépendants ?
    Justifier votre réponse.

    Correction
      Deux évènements AA et BB (avec P(B)≠0P\left(B\right)\neq 0) sont indépendants si et seulement si :
    • PB(A)=P(A)P_{B}\left(A\right)=P\left(A\right)
    Nous allons donc comparer PT(J)P_{T}\left(J\right) et P(J)P\left(J\right).
    D'après les questions précédentes, PT(J)=47P_{T}\left(J\right)=\dfrac{4}{7} et P(J)=15P\left(J\right)=\dfrac{1}{5}.
    Pour comparer ces deux fractions, on les écrit avec le même dénominateur 3535 :
    47=2035\dfrac{4}{7}=\dfrac{20}{35} et 15=735\dfrac{1}{5}=\dfrac{7}{35}
    Ainsi :
    PT(J)≠P(J)P_{T}\left(J\right)\neq P\left(J\right)

    Il en résulte que les évènements JJ et TT ne sont pas indépendants.
    Dans le contexte : la proportion de judokas est bien plus forte parmi les élèves de terminale (environ 57 %57\,\%) que parmi l'ensemble des sportifs (20 %20\,\%).

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