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Exercices types (tableaux) : 11ère partie - Exercice 1

20 min
40
Les 500500 élèves de Première d’un lycée se répartissent de la façon suivante :
On interroge un élève au hasard parmi les 500500. Tous les élèves ont la même probabilité d’être interrogés.
On considère les évènements suivants :
  • FF : « l’élève interrogé est une fille »;
  • EE : « l’élève interrogé est externe »;
  • DD : « l’élève interrogé est demi-pensionnaire »;
  • II : « l’élève interrogé est interne ».
    • Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
    Question 1

    Traduire par une phrase l’événement D∩F‾D\cap \overline{F} et calculer la probabilité p(D∩F‾)p\left(D\cap \overline{F}\right) .

    Correction
    L'évènement D∩F‾D\cap \overline{F} correspond à l'évènement : l’élève interrogé est demi-pensionnaire et{\color{blue}{\text{et}}} l'élève est un garçon .
    p(D∩F‾)=nombre des issues favorables pour D∩F‾nombre des issues possiblesp\left(D\cap \overline{F}\right)=\frac{\blue{\text{nombre des issues favorables pour }D\cap \overline{F}}}{\red{\text{nombre des issues possibles}}}
    Ainsi :
    p(D∩F‾)=120500p\left(D\cap \overline{F}\right)=\frac{{\color{blue}120} }{\red{500}}
    et l'on peut simplifier sous la forme p(D∩F‾)=625p\left(D\cap \overline{F}\right)=\frac{6}{25}
    Question 2

    Calculer la probabilité p(F‾)p\left(\overline{F}\right) .

    Correction
    p(F‾)=nombre des issues favorables pour F‾nombre des issues possiblesp\left(\overline{F}\right)=\frac{\blue{\text{nombre des issues favorables pour }\overline{F}}}{\red{\text{nombre des issues possibles}}}
    p(F‾)=240500p\left(\overline{F}\right)=\frac{\color{blue}240}{\color{red}500} . Nous allons simplifier l'écriture de la fraction rationnelle . Il vient alors que :
    p(F‾)=1225p\left(\overline{F}\right)=\frac{12}{25}
    Question 3

    Calculer la probabilité p(E∪F)p\left(E\cup F\right) .

    Correction
    L'évènement E∪FE\cup F correspond à l'évènement : l’élève interrogé est externe ou{\color{blue}{\text{ou}}} l'élève est une fille.
    • P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)
    P(E∪F)=P(E)+P(F)−P(E∩F)P\left(E\cup F\right)=P\left(E\right)+P\left(F\right)-P\left(E\cap F\right) équivaut successivement à :
    P(E∪F)=180500+260500−70500P\left(E\cup F\right)=\frac{180}{500}+\frac{260}{500}-\frac{70}{500}
    Ainsi :
    P(E∪F)=370500P\left(E\cup F\right)=\frac{370}{500}

    Finalement :
    P(E∪F)=3750P\left(E\cup F\right)=\frac{37}{50}

    Question 4

    Calculer la probabilité pE(F)p_E\left(F\right) .

    Correction
    Sachant que l'élève interrogé est externe, quelle est la probabilité que ce soit une fille correspond à une probabilité conditionnelle que l'on va écrire : pE(F)p_E\left(F\right)
    • PB(A)=P(A∩B)P(B)P_{B} \left(A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}
    Il vient alors que :
    pE(F)=P(F∩E)P(E)p_E\left(F\right)=\frac{P\left(F\cap E\right)}{P\left(E\right)}
    pE(F)=70500260500p_E\left(F\right)=\frac{\frac{70}{500}}{\frac{260}{500}}
    pE(F)=70260p_E\left(F\right)=\frac{70}{260}
    d'où :
    pE(F)=726p_E\left(F\right)=\frac{7}{26}

    Question 5

    Calculer la probabilité p(F)p\left(F\right) .

    Correction
    p(F)=nombre des issues favorables pour Fnombre des issues possiblesp\left(F\right)=\frac{\blue{\text{nombre des issues favorables pour }F}}{\red{\text{nombre des issues possibles}}}
    p(F)=260500p\left(F\right)=\frac{\color{blue}260}{\color{red}500} . Nous allons simplifier l'écriture de la fraction rationnelle . Il vient alors que :
    p(F)=1225p\left(F\right)=\frac{12}{25}
    Question 6

    Les évènements EE et FF sont ils indépendants ?

    Correction
      Deux événements AA et BB sont indépendants si et seulement si :
    • p(A)=pB(A)p\left(A\right)=p_B\left(A\right)
    D'après les questions précédentes, on peut vérifier facilement que : p(F)=1225p\left(F\right)=\frac{12}{25} et pE(F)=726p_E\left(F\right)=\frac{7}{26}
    Ainsi :
    p(F)≠pE(F)p\left(F\right)\ne p_E\left(F\right)
    .
    Il en résulte que les évènements EE et FF ne sont pas indépendants.