Devoir n°2 : indépendance et répétition d'épreuves - Exercice 1

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Exercice 1 (88 points). Un footballeur réussit un tir au but avec la probabilité 0,750{,}75. Lors d'un entraînement, il tire 44 tirs au but ; on admet que les tirs sont indépendants. On note SS « le tir est réussi ».
Question 1

Justifier qu'il s'agit de la répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes ; préciser leur nombre et leur paramètre.

Correction
  • Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues : le succès SS, de probabilité pp, et l'échec S‾\overline{S}, de probabilité 1−p1-p.
  • Quand on répète nn fois la même épreuve de façon indépendante (n⩽4n\leqslant 4), on la représente par un arbre : la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches.
  • La probabilité d'un évènement est la somme des probabilités des chemins qui le réalisent ; pour « au moins un succès », on passe par l'évènement contraire « aucun succès ».
Chaque tir a deux issues : réussi (SS, probabilité 0,750{,}75) ou manqué (S‾\overline{S}, probabilité 0,250{,}25) ; les 44 tirs sont identiques et indépendants.
Répétition de 44 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de paramètre p=0,75p=0{,}75.
Barème : 1,51{,}5 point.
Question 2

Calculer la probabilité qu'il réussisse les 44 tirs (arrondir au millième).

Correction
P(SSSS)=0,754=0,316 406 25P\left(SSSS\right)=0{,}75^{4}=0{,}316\,406\,25
P(SSSS)≈0,316P\left(SSSS\right)\approx 0{,}316
Barème : 1,51{,}5 point.
Question 3

Calculer la probabilité qu'il réussisse au moins un tir (arrondir au millième).

Correction
Évènement contraire : aucun tir réussi, P(S‾ S‾ S‾ S‾)=0,254=0,003 906 25P\left(\overline{S}\,\overline{S}\,\overline{S}\,\overline{S}\right)=0{,}25^{4}=0{,}003\,906\,25.
P(au moins un)=1−0,003 906 25P\left(\text{au moins un}\right)=1-0{,}003\,906\,25
P(au moins un)≈0,996P\left(\text{au moins un}\right)\approx 0{,}996
Barème : 22 points.
Question 4

Calculer la probabilité qu'il réussisse exactement 33 tirs (arrondir au millième).

Correction
Le tir manqué peut être le 1er1^{\text{er}}, le 2e2^{\text{e}}, le 3e3^{\text{e}} ou le 4e4^{\text{e}} : 44 chemins, chacun de probabilité 0,753×0,25=0,105 468 750{,}75^{3}\times 0{,}25=0{,}105\,468\,75.
P(exactement 3)=4×0,105 468 75=0,421 875P\left(\text{exactement 3}\right)=4\times 0{,}105\,468\,75=0{,}421\,875
P(exactement 3)≈0,422P\left(\text{exactement 3}\right)\approx 0{,}422
Barème : 11 point pour les 44 chemins, 22 points pour le calcul.

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