Devoir n°1 : probabilités conditionnelles - Exercice 1

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Exercice 1 (99 points). Une agence de voyages a interrogé 800800 clients sur leur dernière destination de vacances.
On choisit un client au hasard. On note JJ « le client a moins de 3030 ans », EE « le client est allé à la mer » et OO « le client est allé à la montagne ».
Question 1

Calculer P(E)P\left(E\right).

Correction
P(E)=nombre des issues favorables pour Enombre des issues possiblesP\left(E\right)=\dfrac{\blue{\text{nombre des issues favorables pour }E}}{\red{\text{nombre des issues possibles}}}
P(E)=400800P\left(E\right)=\dfrac{\color{blue}400}{\color{red}800}
Ainsi :
P(E)=0,5P\left(E\right)=0{,}5
Barème : 1,51{,}5 point.
Question 2

Décrire l'évènement J∩OJ\cap O par une phrase, puis calculer sa probabilité.

Correction
J∩OJ\cap O : « le client a moins de 3030 ans et est allé à la montagne ».

P(J∩O)=nombre des issues favorables pour J∩Onombre des issues possiblesP\left(J\cap O\right)=\dfrac{\blue{\text{nombre des issues favorables pour }J\cap O}}{\red{\text{nombre des issues possibles}}}
P(J∩O)=90800P\left(J\cap O\right)=\dfrac{\color{blue}90}{\color{red}800}
Ainsi :
P(J∩O)=0,112 5P\left(J\cap O\right)=0{,}112\,5
Barème : 0,50{,}5 point pour la phrase, 11 point pour la probabilité.
Question 3

Calculer PJ(E)P_{J}\left(E\right) et interpréter le résultat.

Correction
Parmi les 300{\color{red}300} clients de moins de 3030 ans, 180{\color{blue}180} sont allés à la mer.
PJ(E)=180300P_{J}\left(E\right)=\dfrac{\color{blue}180}{\color{red}300}
Ainsi :
PJ(E)=0,6P_{J}\left(E\right)=0{,}6

60 %60\,\% des clients de moins de 3030 ans sont allés à la mer.
Barème : 1,51{,}5 point pour le calcul, 0,50{,}5 point pour l'interprétation.
Question 4

Calculer PE(J)P_{E}\left(J\right).

Correction
Parmi les 400{\color{red}400} clients allés à la mer, 180{\color{blue}180} ont moins de 3030 ans.
PE(J)=180400P_{E}\left(J\right)=\dfrac{\color{blue}180}{\color{red}400}
Ainsi :
PE(J)=0,45P_{E}\left(J\right)=0{,}45
Barème : 22 points.
Question 5

Les évènements JJ et EE sont-ils indépendants ? Justifier.

Correction
  • Deux évènements AA et BB (avec P(B)≠0P\left(B\right)\neq 0) sont indépendants si et seulement si PB(A)=P(A)P_{B}\left(A\right)=P\left(A\right) : savoir que BB est réalisé ne change pas la probabilité de AA.
  • De façon équivalente : AA et BB sont indépendants si et seulement si P(A∩B)=P(A)×P(B)P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\times P\left(B\right).
PJ(E)=0,6P_{J}\left(E\right)=0{,}6 et P(E)=0,5P\left(E\right)=0{,}5 : PJ(E)≠P(E)P_{J}\left(E\right)\neq P\left(E\right).
JJ et EE ne sont pas indépendants.

Les moins de 3030 ans vont plus souvent à la mer (60 %60\,\%) que l'ensemble des clients (50 %50\,\%).
Barème : 22 points.

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