Centres étrangers – 8 juin 2026 - Exercice 1

25 min
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Une compagnie aérienne mène une enquête de satisfaction auprès de ses clients. Les deux questions posées lors de cette enquête sont les suivantes :
« Avez-vous acheté votre billet d'avion en agence de voyage ou par internet ? »
« Êtes-vous satisfait des services proposés par notre compagnie ? ».
Les résultats sont donnés dans le tableau suivant :
On choisit au hasard un client ayant répondu aux deux questions.
On considère les deux évènements suivants :
  • SS : « Le client est satisfait » ;
  • II : « Le client a acheté son billet par internet ».
    • Question 1

    Calculer la probabilité qu'un client soit satisfait.

    Correction
    La probabilité qu'un client soit satisfait se traduit par P(S)P\left(S\right).
    Le client est choisi au hasard : les 1  0001\;000 clients ont la même probabilité d'être choisis.
    P(S)=nombre des issues favorables pour Snombre des issues possiblesP\left(S\right)=\dfrac{\blue{\text{nombre des issues favorables pour }S}}{\red{\text{nombre des issues possibles}}}
    P(S)=9001  000P\left(S\right)=\dfrac{\color{blue}900}{\color{red}1\;000}
    Ainsi :
    P(S)=0,9P\left(S\right)=0{,}9
    Question 2

    Calculer la probabilité de l'évènement S∩IS\cap I.
    Interpréter le résultat à l'aide d'une phrase.

    Correction
    L'évènement S∩IS\cap I correspond à l'évènement : le client est satisfait et{\color{blue}{\text{et}}} il a acheté son billet par internet.
    P(S∩I)=nombre des issues favorables pour S∩Inombre des issues possiblesP\left(S\cap I\right)=\dfrac{\blue{\text{nombre des issues favorables pour }S\cap I}}{\red{\text{nombre des issues possibles}}}
    P(S∩I)=7201  000P\left(S\cap I\right)=\dfrac{\color{blue}720}{\color{red}1\;000}
    Ainsi :
    P(S∩I)=0,72P\left(S\cap I\right)=0{,}72
    Interprétation : la probabilité qu'un client choisi au hasard ait acheté son billet par internet et{\color{blue}{\text{et}}} soit satisfait est égale à 0,720{,}72.
    Autrement dit, 72 %72\,\% des clients ont acheté leur billet par internet et sont satisfaits.
    Question 3

    Calculer PS(I)P_{S}\left(I\right).

    Correction
    Il s'agit ici d'une forme avec un « sachant », c'est-à-dire une probabilité conditionnelle.
    On pourrait traduire la question de la manière suivante : sachant{\color{blue}{\text{sachant}}} que le client est satisfait, quelle est la probabilité qu'il ait acheté son billet par internet ?
    • PB(A)=P(A∩B)P(B)P_{B}\left(A\right)=\dfrac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}
    Il vient alors que :
    PS(I)=P(I∩S)P(S)P_{S}\left(I\right)=\dfrac{P\left(I\cap S\right)}{P\left(S\right)}
    D'après les questions 1 et 2, P(I∩S)=0,72P\left(I\cap S\right)=0{,}72 et P(S)=0,9P\left(S\right)=0{,}9.
    PS(I)=0,720,9P_{S}\left(I\right)=\dfrac{0{,}72}{0{,}9}
    PS(I)=7290P_{S}\left(I\right)=\dfrac{72}{90}
    D'où :
    PS(I)=0,8P_{S}\left(I\right)=0{,}8
    Remarque : parmi les 900{\color{red}900} clients satisfaits, 720{\color{blue}720} ont acheté leur billet par internet : 720900=0,8\dfrac{720}{900}=0{,}8.
    Question 4

    Les deux évènements II et SS sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.

    Correction
      Deux évènements AA et BB (avec P(B)≠0P\left(B\right)\neq 0) sont indépendants si et seulement si :
    • PB(A)=P(A)P_{B}\left(A\right)=P\left(A\right)
    Nous allons donc comparer PS(I)P_{S}\left(I\right) et P(I)P\left(I\right).
    D'après la question 3, PS(I)=0,8P_{S}\left(I\right)=0{,}8.
    P(I)=8001  000=0,8P\left(I\right)=\dfrac{\color{blue}800}{\color{red}1\;000}=0{,}8
    Ainsi :
    PS(I)=P(I)P_{S}\left(I\right)=P\left(I\right)

    Il en résulte que les évènements II et SS sont indépendants.
    Dans le contexte : la proportion d'achats par internet est la même parmi les clients satisfaits (80 %80\,\%) que parmi l'ensemble des clients (80 %80\,\%).Autre méthode : P(I)×P(S)=0,8×0,9=0,72=P(I∩S)P\left(I\right)\times P\left(S\right)=0{,}8\times 0{,}9=0{,}72=P\left(I\cap S\right) : on retrouve que II et SS sont indépendants.
    Question 5

    Le service marketing de la compagnie aérienne affirme que 90 %90\,\% des clients qui ont acheté leur billet en agence sont satisfaits.
    Est-ce le cas ? Justifier la réponse.

    Correction
    Il nous faut calculer la proportion de clients satisfaits parmi{\color{blue}{\text{parmi}}} ceux qui ont acheté leur billet en agence, c'est-à-dire PI‾(S)P_{\overline{I}}\left(S\right).
    Parmi les 200{\color{red}200} clients qui ont acheté leur billet en agence, 180{\color{blue}180} sont satisfaits.
    PI‾(S)=180200=0,9P_{\overline{I}}\left(S\right)=\dfrac{\color{blue}180}{\color{red}200}=0{,}9
    Ainsi :
    90 %90\,\% des clients qui ont acheté leur billet en agence sont satisfaits.

    L'affirmation du service marketing est donc exacte.
    C'est cohérent avec la question 4 : SS et II étant indépendants, la proportion de clients satisfaits est la même (90 %90\,\%) quel que soit le mode d'achat.

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