Calculer des probabilités conditionnelles à l'aide d'un tableau croisé d'effectifs - Exercice 1

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Dans un lycée, on a interrogé 400400 élèves de seconde et de première sur leur pratique d'un sport en club. Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous.
On choisit un élève au hasard parmi ces 400400 élèves.
On considère les évènements suivants :
  • SS : « l'élève pratique un sport en club » ;
  • PP : « l'élève est en première ».
    • Question 1

    Calculer P(S)P\left(S\right) et P(P)P\left(P\right).

    Correction
    L'élève est choisi au hasard : les 400400 élèves ont la même probabilité d'être choisis.
    P(S)=nombre des issues favorables pour Snombre des issues possiblesP\left(S\right)=\dfrac{\blue{\text{nombre des issues favorables pour }S}}{\red{\text{nombre des issues possibles}}}
    P(S)=150400P\left(S\right)=\dfrac{\color{blue}150}{\color{red}400}
    Ainsi :
    P(S)=38=0,375P\left(S\right)=\dfrac{3}{8}=0{,}375

    P(P)=nombre des issues favorables pour Pnombre des issues possiblesP\left(P\right)=\dfrac{\blue{\text{nombre des issues favorables pour }P}}{\red{\text{nombre des issues possibles}}}
    P(P)=160400P\left(P\right)=\dfrac{\color{blue}160}{\color{red}400}
    Ainsi :
    P(P)=25=0,4P\left(P\right)=\dfrac{2}{5}=0{,}4
    Question 2

    Décrire l'évènement S∩PS\cap P par une phrase, puis calculer sa probabilité.

    Correction
    L'évènement S∩PS\cap P correspond à l'évènement : l'élève pratique un sport en club et{\color{blue}{\text{et}}} il est en première.
    S∩PS\cap P : « l'élève est en première et pratique un sport en club ».

    P(S∩P)=nombre des issues favorables pour S∩Pnombre des issues possiblesP\left(S\cap P\right)=\dfrac{\blue{\text{nombre des issues favorables pour }S\cap P}}{\red{\text{nombre des issues possibles}}}
    P(S∩P)=66400P\left(S\cap P\right)=\dfrac{\color{blue}66}{\color{red}400}
    Ainsi :
    P(S∩P)=33200=0,165P\left(S\cap P\right)=\dfrac{33}{200}=0{,}165
    Question 3

    Calculer PP(S)P_{P}\left(S\right). Interpréter le résultat.

    Correction
    Il s'agit ici d'une forme avec un « sachant », c'est-à-dire une probabilité conditionnelle.
    On pourrait traduire la question de la manière suivante : sachant{\color{blue}{\text{sachant}}} que l'élève choisi est en première, quelle est la probabilité qu'il pratique un sport en club ?
    • PB(A)=P(A∩B)P(B)P_{B}\left(A\right)=\dfrac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)} (avec P(B)≠0P\left(B\right)\neq 0)
    • dans un tableau croisé : PB(A)=effectif de A∩Beffectif de BP_{B}\left(A\right)=\dfrac{\text{effectif de }A\cap B}{\text{effectif de }B} : on se place parmi{\color{blue}{\text{parmi}}} les issues de BB
    On se place parmi{\color{blue}{\text{parmi}}} les 160{\color{red}160} élèves de première : 66{\color{blue}66} d'entre eux pratiquent un sport en club.
    PP(S)=66160P_{P}\left(S\right)=\dfrac{\color{blue}66}{\color{red}160}
    Ainsi :
    PP(S)=3380=0,4125P_{P}\left(S\right)=\dfrac{33}{80}=0{,}4125

    Interprétation : 41,25 %41{,}25\,\% des élèves de première pratiquent un sport en club.
    Question 4

    Calculer PS(P)P_{S}\left(P\right). Est-ce la même probabilité qu'à la question précédente ?

    Correction
    Il s'agit ici d'une forme avec un « sachant », c'est-à-dire une probabilité conditionnelle.
    On pourrait traduire la question de la manière suivante : sachant{\color{blue}{\text{sachant}}} que l'élève choisi pratique un sport en club, quelle est la probabilité qu'il soit en première ?
    On se place parmi{\color{blue}{\text{parmi}}} les 150{\color{red}150} élèves qui pratiquent un sport en club : 66{\color{blue}66} d'entre eux sont en première.
    PS(P)=66150P_{S}\left(P\right)=\dfrac{\color{blue}66}{\color{red}150}
    Ainsi :
    PS(P)=1125=0,44P_{S}\left(P\right)=\dfrac{11}{25}=0{,}44

    Ce n'est pas la même probabilité : PP(S)=0,4125P_{P}\left(S\right)=0{,}4125 et PS(P)=0,44P_{S}\left(P\right)=0{,}44. Le numérateur est le même (6666), mais on ne divise pas par le même effectif (160160 élèves de première dans un cas, 150150 sportifs dans l'autre).
    Question 5

    Calculer PP‾(S)P_{\overline{P}}\left(S\right), puis représenter la situation par un arbre pondéré dont le premier niveau est formé des évènements PP et P‾\overline{P}.

    Correction
    Parmi les 240{\color{red}240} élèves de seconde, 84{\color{blue}84} pratiquent un sport en club : PP‾(S)=84240=720=0,35P_{\overline{P}}\left(S\right)=\dfrac{\color{blue}84}{\color{red}240}=\dfrac{7}{20}=0{,}35.
    • La somme des probabilités issues d'un même nœud est égale à 11.
    • La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur ses branches : P(A∩B)=P(A)×PA(B)P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\times P_{A}\left(B\right).
    • La probabilité d'un évènement est la somme des probabilités des chemins qui le réalisent (formule des probabilités totales) : P(B)=P(A∩B)+P(A‾∩B)P\left(B\right)=P\left(A\cap B\right)+P\left(\overline{A}\cap B\right).
    On complète l'arbre :
  • premier niveau : P(P)=0,4P\left(P\right)=0{,}4 et P(P‾)=1−0,4=0,6P\left(\overline{P}\right)=1-0{,}4=0{,}6 ;
  • branches issues de PP : PP(S)=0,4125P_{P}\left(S\right)=0{,}4125 et PP(S‾)=1−0,4125=0,5875P_{P}\left(\overline{S}\right)=1-0{,}4125=0{,}5875 ;
  • branches issues de P‾\overline{P} : PP‾(S)=0,35P_{\overline{P}}\left(S\right)=0{,}35 et PP‾(S‾)=1−0,35=0,65P_{\overline{P}}\left(\overline{S}\right)=1-0{,}35=0{,}65.

    • Vérification : P(S)=0,4×0,4125+0,6×0,35=0,165+0,21=0,375P\left(S\right)=0{,}4\times 0{,}4125+0{,}6\times 0{,}35=0{,}165+0{,}21=0{,}375 : on retrouve le résultat de la question 1.

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