Antilles-Guyane – 12 juin 2026 - Exercice 1

$$P_{A}\left(S\right)$$ est la probabilité que l'élève soit inscrit à une activité sportive $${\color{blue}{\text{sachant}}}$$ qu'il est inscrit à une activité artistique.
Or, parmi les élèves ayant choisi des activités artistiques, $$20\,\%$$ ont aussi choisi des activités sportives. Ainsi :

$$P_{\overline{A}}\left(S\right)$$ est la probabilité que l'élève soit inscrit à une activité sportive $${\color{blue}{\text{sachant}}}$$ qu'il n'est pas inscrit à une activité artistique.
Or, parmi les élèves n'ayant pas choisi des activités artistiques, $$40\,\%$$ ont choisi de faire des activités sportives. Ainsi :
Attention : le mot « parmi » indique une probabilité conditionnelle ; $$0{,}2$$ n'est pas la probabilité $$P\left(A\cap S\right)$$.

Premier niveau :
$$40\,\%$$ des élèves ont choisi des activités artistiques donc $$P\left(A\right)=0{,}4$$. Ainsi :
$$P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=1-0{,}4=0{,}6$$
Branches issues de $$A$$ :
D'après la question 1, $$P_{A}\left(S\right)=0{,}2$$. Ainsi :
$$P_{A}\left(\overline{S}\right)=1-P_{A}\left(S\right)=1-0{,}2=0{,}8$$
Branches issues de $$\overline{A}$$ :
D'après la question 1, $$P_{\overline{A}}\left(S\right)=0{,}4$$. Ainsi :
$$P_{\overline{A}}\left(\overline{S}\right)=1-P_{\overline{A}}\left(S\right)=1-0{,}4=0{,}6$$
Ce qui nous donne :

Calcul de $$P\left(A\cap S\right)$$ :
On cherche à calculer la probabilité de l'évènement $$A\cap S$$ : l'élève est inscrit à une activité artistique $${\color{blue}{\text{et}}}$$ à une activité sportive.Il en résulte que :
$$P\left(A\cap S\right)=P\left(A\right)\times P_{A}\left(S\right)$$
$$P\left(A\cap S\right)=0{,}4\times 0{,}2$$
D'où : Calcul de $$P\left(\overline{A}\cap S\right)$$ :
On cherche à calculer la probabilité de l'évènement $$\overline{A}\cap S$$ : l'élève n'est pas inscrit à une activité artistique $${\color{blue}{\text{et}}}$$ il est inscrit à une activité sportive.Il en résulte que :
$$P\left(\overline{A}\cap S\right)=P\left(\overline{A}\right)\times P_{\overline{A}}\left(S\right)$$
$$P\left(\overline{A}\cap S\right)=0{,}6\times 0{,}4$$
D'où :

Il s'agit ici d'une forme avec un « sachant », c'est-à-dire une probabilité conditionnelle.
On pourrait traduire la question de la manière suivante : $${\color{blue}{\text{sachant}}}$$ que l'élève choisi est inscrit à une activité sportive, quelle est la probabilité qu'il soit inscrit à une activité artistique ?
Il vient alors que :
$$P_{S}\left(A\right)=\dfrac{P\left(A\cap S\right)}{P\left(S\right)}$$
D'après la question 3, $$P\left(A\cap S\right)=0{,}08$$ et l'énoncé donne $$P\left(S\right)=0{,}32$$.
$$P_{S}\left(A\right)=\dfrac{0{,}08}{0{,}32}$$
$$P_{S}\left(A\right)=\dfrac{8}{32}$$
D'où : Interprétation : parmi les élèves inscrits à une activité sportive, $$25\,\%$$ sont aussi inscrits à une activité artistique.
Remarque : on retrouve $$P\left(S\right)=0{,}32$$ avec la formule des probabilités totales : $$P\left(S\right)=P\left(A\cap S\right)+P\left(\overline{A}\cap S\right)=0{,}08+0{,}24=0{,}32$$.

Nous allons donc comparer $$P_{S}\left(A\right)$$ et $$P\left(A\right)$$.
D'après la question 4, $$P_{S}\left(A\right)=0{,}25$$ et d'après l'énoncé, $$P\left(A\right)=0{,}4$$.
Ainsi :
Il en résulte que les évènements $$A$$ et $$S$$ ne sont pas indépendants.
Dans le contexte : la proportion d'élèves inscrits à une activité artistique parmi les sportifs ($$25\,\%$$) n'est pas la même que parmi l'ensemble des élèves ($$40\,\%$$).Autre méthode : on compare $$P\left(A\cap S\right)$$ et $$P\left(A\right)\times P\left(S\right)$$.
$$P\left(A\cap S\right)=0{,}08$$ et $$P\left(A\right)\times P\left(S\right)=0{,}4\times 0{,}32=0{,}128$$
Ces deux nombres sont différents : on retrouve que les évènements $$A$$ et $$S$$ ne sont pas indépendants.