Antilles-Guyane – 11 septembre 2026 - Exercice 1

20 min
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Le jeu de fléchettes oppose deux joueurs et une partie se déroule en plusieurs manches. Les joueurs débutent les manches à tour de rôle. On désigne à pile ou face, avec une pièce équilibrée, la personne qui débute la première manche.
On a étudié les parties entre Pierre et Vanessa et on a constaté que lorsque Pierre joue en premier, il gagne la manche 22 fois sur 33 et lorsqu'il joue en second, il gagne la manche 22 fois sur 55.
On note les évènements :
  • AA : « Pierre joue la manche en premier » ;
  • A‾\overline{A} : « Pierre joue la manche en second » ;
  • GG : « Pierre gagne la manche » ;
  • G‾\overline{G} : « Pierre perd la manche ».
    • Pour un évènement quelconque EE, on note P(E)P\left(E\right) la probabilité de EE et PF(E)P_{F}\left(E\right) la probabilité de EE sachant l'évènement FF.
    Dans toute la suite, on s'intéresse à la première manche de la partie.
    Question 1

    Recopier et compléter l'arbre de probabilités correspondant :

    Correction
    • La somme des probabilités issues d'un même nœud est égale à 11.
    Premier niveau :
    La personne qui débute est désignée à pile ou face avec une pièce équilibrée, donc P(A)=12P\left(A\right)=\dfrac{1}{2}. Ainsi :
    P(A‾)=1−12=12P\left(\overline{A}\right)=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}
    Branches issues de AA :
    Lorsque Pierre joue en premier, il gagne 22 fois sur 33 : PA(G)=23P_{A}\left(G\right)=\dfrac{2}{3}. Ainsi :
    PA(G‾)=1−23=13P_{A}\left(\overline{G}\right)=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}
    Branches issues de A‾\overline{A} :
    Lorsque Pierre joue en second, il gagne 22 fois sur 55 : PA‾(G)=25P_{\overline{A}}\left(G\right)=\dfrac{2}{5}. Ainsi :
    PA‾(G‾)=1−25=35P_{\overline{A}}\left(\overline{G}\right)=1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}
    Ce qui nous donne :
    Question 2

    Donner PA(G)P_{A}\left(G\right) et PA‾(G)P_{\overline{A}}\left(G\right).

    Correction
    • Sur un arbre pondéré, la probabilité inscrite sur une branche du second niveau est une probabilité conditionnelle : la branche qui va de AA vers BB porte la probabilité PA(B)P_{A}\left(B\right).
    PA(G)P_{A}\left(G\right) est inscrite sur la branche qui va de AA vers GG et PA‾(G)P_{\overline{A}}\left(G\right) sur la branche qui va de A‾\overline{A} vers GG.
    Ainsi :
    PA(G)=23P_{A}\left(G\right)=\dfrac{2}{3} et PA‾(G)=25P_{\overline{A}}\left(G\right)=\dfrac{2}{5}

    PA(G)P_{A}\left(G\right) est la probabilité que Pierre gagne la manche sachant{\color{blue}{\text{sachant}}} qu'il la joue en premier ; PA‾(G)P_{\overline{A}}\left(G\right) est la probabilité qu'il la gagne sachant{\color{blue}{\text{sachant}}} qu'il la joue en second.
    Question 3

    Calculer P(A∩G)P\left(A\cap G\right). Interpréter cette probabilité dans le contexte de l'exercice.

    Correction
    • La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur ses branches : P(A∩B)=P(A)×PA(B)P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\times P_{A}\left(B\right).
    On cherche à calculer la probabilité de l'évènement A∩GA\cap G : Pierre joue la première manche en premier et{\color{blue}{\text{et}}} il la gagne.
    Il en résulte que :
    P(A∩G)=P(A)×PA(G)P\left(A\cap G\right)=P\left(A\right)\times P_{A}\left(G\right)
    P(A∩G)=12×23P\left(A\cap G\right)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{3}
    P(A∩G)=26P\left(A\cap G\right)=\dfrac{2}{6}
    D'où :
    P(A∩G)=13P\left(A\cap G\right)=\dfrac{1}{3}
    Interprétation : la probabilité que Pierre débute la première manche et{\color{blue}{\text{et}}} la gagne est égale à 13\dfrac{1}{3}.

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