Amérique du Nord – 1^er juin 2026 - Exercice 1

L'adhérent est choisi au hasard : les $$200$$ adhérents ont la même probabilité d'être choisis.
D'après le tableau, $$100$$ adhérents sont des femmes.
$$P\left(F\right)=\dfrac{\blue{\text{nombre des issues favorables pour }F}}{\red{\text{nombre des issues possibles}}}$$
$$P\left(F\right)=\dfrac{\color{blue}100}{\color{red}200}$$
Ainsi :

L'évènement « l'adhérent est un homme qui pratique le step » correspond à l'évènement : l'adhérent est un homme $${\color{blue}{\text{et}}}$$ il pratique le step, c'est-à-dire $$H\cap S$$.
$$P\left(H\cap S\right)=\dfrac{\blue{\text{nombre des issues favorables pour }H\cap S}}{\red{\text{nombre des issues possibles}}}$$
$$P\left(H\cap S\right)=\dfrac{\color{blue}20}{\color{red}200}$$
Ainsi :

L'évènement $$F\cap S$$ correspond à l'évènement : l'adhérent est une femme $${\color{blue}{\text{et}}}$$ il pratique le step.
$$P\left(F\cap S\right)=\dfrac{\blue{\text{nombre des issues favorables pour }F\cap S}}{\red{\text{nombre des issues possibles}}}$$
$$P\left(F\cap S\right)=\dfrac{\color{blue}60}{\color{red}200}$$
Ainsi :

Nous allons donc comparer $$P_{S}\left(F\right)$$ et $$P\left(F\right)$$.
D'après la question 1, $$P\left(F\right)=0{,}5$$.
$$P_{S}\left(F\right)$$ est la probabilité que l'adhérent soit une femme $${\color{blue}{\text{sachant}}}$$ qu'il pratique le step : parmi les $${\color{red}80}$$ adhérents qui pratiquent le step, $${\color{blue}60}$$ sont des femmes.$$P_{S}\left(F\right)=\dfrac{\color{blue}60}{\color{red}80}=\dfrac{3}{4}=0{,}75$$
Ainsi :
Il en résulte que les évènements $$F$$ et $$S$$ ne sont pas indépendants.
Dans le contexte : la proportion de femmes parmi les adhérents qui pratiquent le step ($$75\,\%$$) n'est pas la même que parmi l'ensemble des adhérents ($$50\,\%$$).Autre méthode : on compare $$P\left(F\cap S\right)$$ et $$P\left(F\right)\times P\left(S\right)$$.
$$P\left(F\cap S\right)=0{,}3$$ et $$P\left(F\right)\times P\left(S\right)=0{,}5\times\dfrac{80}{200}=0{,}5\times 0{,}4=0{,}2$$
Ces deux nombres sont différents : on retrouve que les évènements $$F$$ et $$S$$ ne sont pas indépendants.

Il s'agit ici d'une forme avec un « sachant », c'est-à-dire une probabilité conditionnelle.
On pourrait traduire la question de la manière suivante : $${\color{blue}{\text{sachant}}}$$ que l'adhérent choisi est une femme, quelle est la probabilité qu'il pratique le crossfit ?
On cherche donc $$P_{F}\left(C\right)$$. Il vient alors que :
$$P_{F}\left(C\right)=\dfrac{P\left(C\cap F\right)}{P\left(F\right)}$$
D'après le tableau, $$40$$ adhérents sont des femmes qui pratiquent le crossfit, donc $$P\left(C\cap F\right)=\dfrac{40}{200}$$, et d'après la question 1, $$P\left(F\right)=\dfrac{100}{200}$$.
$$P_{F}\left(C\right)=\dfrac{\dfrac{40}{200}}{\dfrac{100}{200}}$$
$$P_{F}\left(C\right)=\dfrac{40}{100}$$
D'où : Remarque : on peut lire ce résultat directement dans le tableau : parmi les $${\color{red}100}$$ femmes, $${\color{blue}40}$$ pratiquent le crossfit.

Il s'agit ici d'une forme avec un « sachant », c'est-à-dire une probabilité conditionnelle.
On pourrait traduire la question de la manière suivante : $${\color{blue}{\text{sachant}}}$$ que l'adhérent choisi pratique le crossfit, quelle est la probabilité que ce soit une femme ?
Il vient alors que :
$$P_{C}\left(F\right)=\dfrac{P\left(F\cap C\right)}{P\left(C\right)}$$
D'après le tableau, $$P\left(F\cap C\right)=\dfrac{40}{200}$$ et $$P\left(C\right)=\dfrac{120}{200}$$.
$$P_{C}\left(F\right)=\dfrac{\dfrac{40}{200}}{\dfrac{120}{200}}$$
$$P_{C}\left(F\right)=\dfrac{40}{120}$$
D'où : Remarque : parmi les $${\color{red}120}$$ adhérents qui pratiquent le crossfit, $${\color{blue}40}$$ sont des femmes.Attention : $$P_{C}\left(F\right)=\dfrac{1}{3}$$ et $$P_{F}\left(C\right)=\dfrac{2}{5}$$ ne sont pas égales : on ne divise pas par le même effectif.