Devoir n°2 : nuage de points et ajustement affine - Exercice 1

20 min

Exercice 1 (

12

points). Le tableau donne la masse moyenne

y

(en kg) d'un chiot labrador selon son âge

x

(en semaines).

Question 1

Représenter le nuage de points.

Correction

Les points sont presque alignés : un ajustement affine est envisageable sur cette période.

Barème :

2

points.

Question 2

Calculer les coordonnées du point moyen $G$ .

Correction

Une série statistique à deux variables est une liste de couples $\left(x_{i};y_{i}\right)$ ; dans un repère, les points $M_{i}\left(x_{i};y_{i}\right)$ forment le ${\color{blue}{\text{nuage de points}}}$ .
Le ${\color{blue}{\text{point moyen}}}$ $G$ du nuage a pour coordonnées $\left(\overline{x};\overline{y}\right)$ , où $\overline{x}$ est la moyenne des $x_{i}$ et $\overline{y}$ la moyenne des $y_{i}$ .

\overline{x}=\dfrac{8+10+12+14+16+18}{6}=\dfrac{78}{6}=13

\overline{y}=\dfrac{6+7{,}6+9{,}2+10{,}8+12{,}4+14}{6}=\dfrac{60}{6}=10

G\left(13;10\right)

Barème :

2

points.

Question 3

Déterminer une équation de la droite de Mayer, en partageant la série en deux groupes de trois points.

Correction

${\color{blue}{\text{Droite de Mayer}}}$ : on partage la série, rangée par $x$ croissants, en deux groupes de même effectif, on calcule le point moyen $G_{1}$ du premier groupe et le point moyen $G_{2}$ du second ; la droite de Mayer est la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ . Elle passe par le point moyen $G$ du nuage.

G_{1}

\dfrac{8+10+12}{3}=10

\dfrac{6+7{,}6+9{,}2}{3}=\dfrac{22{,}8}{3}=7{,}6

;

G_{2}

\dfrac{14+16+18}{3}=16

\dfrac{10{,}8+12{,}4+14}{3}=\dfrac{37{,}2}{3}=12{,}4

a=\dfrac{12{,}4-7{,}6}{16-10}=\dfrac{4{,}8}{6}=0{,}8

Avec

G_{1}

7{,}6=0{,}8\times 10+b

, donc

b=7{,}6-8=-0{,}4

y=0{,}8x-0{,}4

Barème :

3

points.

Question 4

Estimer la masse du chiot à $15$ semaines.

Correction

C'est une interpolation :

15

est compris entre

8

18

y=0{,}8\times 15-0{,}4=11{,}6

15

semaines, le chiot pèse environ

11{,}6

kg.

Barème :

2

points.

Question 5

Estimer, avec ce modèle, la masse du chien à $2$ ans ( $104$ semaines). Un labrador adulte pèse en général entre $25$ et $36$ kg : que peut-on en conclure ?

Correction

y=0{,}8\times 104-0{,}4=82{,}8

Le modèle donne

82{,}8

kg, plus du double de la masse d'un labrador adulte. La croissance d'un chiot ralentit, puis s'arrête : l'ajustement affine n'est valable que pendant la période observée.

Extrapoler très loin des données conduit ici à un résultat absurde.

Barème :

3

points.

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Devoir n°2 : nuage de points et ajustement affine - Exercice 1

Représenter le nuage de points.

Calculer les coordonnées du point moyen GGG.

Déterminer une équation de la droite de Mayer, en partageant la série en deux groupes de trois points.

Estimer la masse du chiot à 151515 semaines.

Estimer, avec ce modèle, la masse du chien à 222 ans (104104104 semaines). Un labrador adulte pèse en général entre 252525 et 363636 kg : que peut-on en conclure ?

Calculer les coordonnées du point moyen $G$ .

Estimer la masse du chiot à $15$ semaines.

Estimer, avec ce modèle, la masse du chien à $2$ ans ( $104$ semaines). Un labrador adulte pèse en général entre $25$ et $36$ kg : que peut-on en conclure ?