Ajustement affine : au jugé, droite de Mayer, interpolation et extrapolation - Exercice 1

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Le tableau donne la population d'une commune, en centaines d'habitants, au 1er janvier de chaque année de 20162016 à 20232023. On note xx le rang de l'année (x=0x=0 pour 20162016) et yy la population.
Question 1

Représenter le nuage de points. Un ajustement affine est-il envisageable ?

Correction
Les points sont presque alignés le long d'une droite qui monte : un ajustement affine est envisageable.
Question 2

On partage la série en deux groupes : les quatre premières années et les quatre dernières. Calculer les coordonnées des points moyens G1G_{1} et G2G_{2} de ces deux groupes.

Correction
  • Droite de Mayer{\color{blue}{\text{Droite de Mayer}}} : on partage la série, rangée par xx croissants, en deux groupes de même effectif, on calcule le point moyen G1G_{1} du premier groupe et le point moyen G2G_{2} du second ; la droite de Mayer est la droite (G1G2)\left(G_{1}G_{2}\right). Elle passe par le point moyen GG du nuage.
  • groupe 1 : xG1=0+1+2+34=1,5x_{G_{1}}=\dfrac{0+1+2+3}{4}=1{,}5 et yG1=50+53+54+554=2124=53y_{G_{1}}=\dfrac{50+53+54+55}{4}=\dfrac{212}{4}=53 ;
  • groupe 2 : xG2=4+5+6+74=5,5x_{G_{2}}=\dfrac{4+5+6+7}{4}=5{,}5 et yG2=57+61+62+644=2444=61y_{G_{2}}=\dfrac{57+61+62+64}{4}=\dfrac{244}{4}=61.
    • G1(1,5;53) et G2(5,5;61)G_{1}\left(1{,}5;53\right)\text{ et }G_{2}\left(5{,}5;61\right)
    Question 3

    Déterminer une équation de la droite de Mayer (G1G2)\left(G_{1}G_{2}\right), puis la tracer.

    Correction
    • La droite qui passe par A(xA;yA)A\left(x_{A};y_{A}\right) et B(xB;yB)B\left(x_{B};y_{B}\right) (avec xA≠xBx_{A}\neq x_{B}) a pour coefficient directeur a=yB−yAxB−xAa=\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} ; on trouve bb en écrivant yA=a xA+by_{A}=a\,x_{A}+b.
    a=61−535,5−1,5=84=2a=\dfrac{61-53}{5{,}5-1{,}5}=\dfrac{8}{4}=2

    Avec G1G_{1} : 53=2×1,5+b53=2\times 1{,}5+b, donc b=53−3=50b=53-3=50.
    y=2x+50y=2x+50
    Question 4

    Vérifier que cette droite passe par le point moyen GG du nuage.

    Correction
    x‾=0+1+2+⋯+78=288=3,5\overline{x}=\dfrac{0+1+2+\dots+7}{8}=\dfrac{28}{8}=3{,}5 et y‾=212+2448=4568=57\overline{y}=\dfrac{212+244}{8}=\dfrac{456}{8}=57.
    Pour x=3,5x=3{,}5 : 2×3,5+50=572\times 3{,}5+50=57. Le point G(3,5;57)G\left(3{,}5;57\right) est bien sur la droite de Mayer.
    Question 5

    À l'aide de cet ajustement, estimer la population au 1er juillet 20202020.

    Correction
    • Lorsque les points d'un nuage sont presque alignés, on peut les remplacer par une droite d'équation y=ax+by=ax+b : c'est un ajustement affine{\color{blue}{\text{ajustement affine}}}.
    • Interpoler{\color{blue}{\text{Interpoler}}} : estimer une valeur à l'intérieur de la plage des données. Extrapoler{\color{blue}{\text{Extrapoler}}} : estimer une valeur en dehors (une prévision), ce qui demande de la prudence.
    Le 1er juillet 20202020 correspond à x=4,5x=4{,}5 ; cette valeur est à l'intérieur des données : c'est une interpolation.
    y=2×4,5+50=59y=2\times 4{,}5+50=59

    La population est estimée à 5959 centaines, soit environ 5 9005\,900 habitants.
    Question 6

    Estimer la population en 20302030. Quel est le risque d'une telle estimation ?

    Correction
    20302030 correspond à x=14x=14, en dehors des données : c'est une extrapolation.
    y=2×14+50=78y=2\times 14+50=78

    Selon ce modèle, la commune compterait environ 7 8007\,800 habitants en 20302030. C'est une prévision : elle suppose que la population continue d'augmenter au même rythme pendant sept ans de plus, ce qui n'est pas garanti (logements construits, départs, etc.).
    Question 7

    À partir de quelle année la population dépasserait-elle 7 0007\,000 habitants, selon ce modèle ?

    Correction
    On cherche xx tel que 2x+50>702x+50\gt 70, soit 2x>202x\gt 20, donc x>10x\gt 10.
    Pour x=10x=10 (année 20262026), on trouve exactement 7070 centaines ; la population dépasse 7 0007\,000 habitants à partir de x=11x=11.
    Selon ce modèle, la population dépasserait 7 0007\,000 habitants à partir de 20272027.

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