Ajustement affine à la calculatrice ou au tableur - Exercice 1

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La concentration moyenne annuelle de dioxyde de carbone (CO2\text{CO}_{2}) dans l'atmosphère, mesurée à l'observatoire de Mauna Loa (Hawaï), est donnée ci-dessous en ppm (parties par million), arrondie au dixième (source : NOAA, Global Monitoring Laboratory). On note xx le rang de l'année (x=0x=0 pour 20152015) et yy la concentration.
Question 1

Représenter le nuage de points. Un ajustement affine est-il justifié ?

Correction
Les points sont presque alignés le long d'une droite qui monte : un ajustement affine est justifié sur cette période.
Question 2

Calculer les coordonnées du point moyen GG (arrondir y‾\overline{y} au centième).

Correction
  • Une série statistique à deux variables est une liste de couples (xi;yi)\left(x_{i};y_{i}\right) ; dans un repère, les points Mi(xi;yi)M_{i}\left(x_{i};y_{i}\right) forment le nuage de points{\color{blue}{\text{nuage de points}}}.
  • Le point moyen{\color{blue}{\text{point moyen}}} GG du nuage a pour coordonnées (x‾;y‾)\left(\overline{x};\overline{y}\right), où x‾\overline{x} est la moyenne des xix_{i} et y‾\overline{y} la moyenne des yiy_{i}.
x‾=0+1+⋯+78=288=3,5\overline{x}=\dfrac{0+1+\dots+7}{8}=\dfrac{28}{8}=3{,}5 et y‾=401,0+404,4+⋯+418,58=3 281,78≈410,21\overline{y}=\dfrac{401{,}0+404{,}4+\dots+418{,}5}{8}=\dfrac{3\,281{,}7}{8}\approx 410{,}21.
G(3,5;410,21)G\left(3{,}5;410{,}21\right)
Question 3

À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de yy en xx par la méthode des moindres carrés (arrondir aa au centième et bb au dixième).

Correction
  • La calculatrice (menu statistiques, « régression linéaire ») ou le tableur donnent la droite d'ajustement des moindres carreˊs{\color{blue}{\text{des moindres carrés}}}, celle qui passe au plus près des points ; elle passe aussi par le point moyen GG.
  • Au tableur : =MOYENNE(B2:B9) calcule une moyenne ; =PENTE(C2:C9;B2:B9) donne le coefficient aa et =ORDONNEE.ORIGINE(C2:C9;B2:B9) donne bb (les yy d'abord, puis les xx).
On saisit les rangs dans une liste (L1), les concentrations dans une autre (L2), puis on lance la régression linéaire y=ax+by=ax+b. La calculatrice affiche a≈2,472 6a\approx 2{,}472\,6 et b≈401,558 3b\approx 401{,}558\,3.
y=2,47x+401,6y=2{,}47x+401{,}6

Vérification : avec ces arrondis, 2,47×3,5+401,6≈410,252{,}47\times 3{,}5+401{,}6\approx 410{,}25, très proche de y‾≈410,21\overline{y}\approx 410{,}21 : la droite passe presque par GG (l'écart vient des arrondis).
Question 4

Utiliser cet ajustement pour estimer la concentration en 20252025.

Correction
20252025 correspond à x=10x=10, en dehors des données : c'est une extrapolation.
y=2,47×10+401,6=426,3y=2{,}47\times 10+401{,}6=426{,}3

Le modèle prévoit environ 426,3426{,}3 ppm en 20252025.
Question 5

La concentration mesurée en 20252025 est de 427,4427{,}4 ppm. Comparer avec l'estimation et commenter.

Correction
L'écart est de 427,4−426,3=1,1427{,}4-426{,}3=1{,}1 ppm : le modèle sous-estime{\color{blue}{\text{sous-estime}}} la valeur réelle. L'erreur relative est faible (1,1427,4≈0,3 %\dfrac{1{,}1}{427{,}4}\approx 0{,}3\,\%), mais elle va dans le sens d'une accélération : depuis 20222022, la concentration augmente de plus de 2,52{,}5 ppm par an (424,6424{,}6 ppm en 20242024, puis 427,4427{,}4 ppm en 20252025).
Prolonger une tendance affine suppose que le rythme reste constant ; ici, il augmente légèrement.

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