Utiliser les propriétés algébriques des fonctions exponentielles - Exercice 3

10 min
20
Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse.
Question 1

20,5+20,5=212^{0{,}5}+2^{0{,}5}=2^{1}

Correction
20,5+20,5=2×20,5≈2,8282^{0{,}5}+2^{0{,}5}=2\times2^{0{,}5}\approx2{,}828, alors que 21=22^{1}=2.
Faux.
La règle ax×ay=ax+ya^{x}\times a^{y}=a^{x+y} concerne un produit, pas une somme : 20,5×20,5=212^{0{,}5}\times2^{0{,}5}=2^{1}.
Question 2

30,5×30,5=33^{0{,}5}\times3^{0{,}5}=3

Correction
On ajoute les exposants : 30,5×30,5=30,5+0,5=31=33^{0{,}5}\times3^{0{,}5}=3^{0{,}5+0{,}5}=3^{1}=3.
Vrai.
Question 3

(23)0,5=23,5\left(2^{3}\right)^{0{,}5}=2^{3{,}5}

Correction
Pour une puissance de puissance, on multiplie les exposants : (23)0,5=23×0,5=21,5≈2,828\left(2^{3}\right)^{0{,}5}=2^{3\times0{,}5}=2^{1{,}5}\approx2{,}828, alors que 23,5≈11,3142^{3{,}5}\approx11{,}314.
Faux.

Question 4

100,3×100,7=1010^{0{,}3}\times10^{0{,}7}=10

Correction
100,3×100,7=100,3+0,7=101=1010^{0{,}3}\times10^{0{,}7}=10^{0{,}3+0{,}7}=10^{1}=10.
Vrai.
Question 5

Pour tout réel x⩾0x\geqslant0, 4x=22x4^{x}=2^{2x}.

Correction
4=224=2^{2}, donc 4x=(22)x=22×x=22x4^{x}=\left(2^{2}\right)^{x}=2^{2\times x}=2^{2x}.
Vrai.

Par exemple, pour x=1,5x=1{,}5 : 41,5=84^{1{,}5}=8 et 23=82^{3}=8.

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