Utiliser les propriétés algébriques des fonctions exponentielles - Exercice 2

10 min
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Une population d'insectes, en milliers, est modélisée par f(x)=3×1,2xf\left(x\right)=3\times1{,}2^{x}, où xx est le nombre de semaines écoulées depuis le début de l'observation (x⩾0x\geqslant0).
Question 1

Montrer que, pour tout réel x⩾0x\geqslant0, f(x+1)=1,2×f(x)f\left(x+1\right)=1{,}2\times f\left(x\right). Interpréter ce résultat.

Correction
f(x+1)=3×1,2x+1=3×1,2x×1,21=1,2×(3×1,2x)f\left(x+1\right)=3\times1{,}2^{x+1}=3\times1{,}2^{x}\times1{,}2^{1}=1{,}2\times\left(3\times1{,}2^{x}\right), d'où :
f(x+1)=1,2×f(x)f\left(x+1\right)=1{,}2\times f\left(x\right)

En une semaine, la population est multipliée par 1,21{,}2 : elle augmente de 20%20\% par semaine, quel que soit le moment où l'on commence à compter.
Par exemple, f(1)=1,2×f(0)=1,2×3=3,6f\left(1\right)=1{,}2\times f\left(0\right)=1{,}2\times3=3{,}6.
Question 2

Montrer que f(x+0,5)=1,20,5×f(x)f\left(x+0{,}5\right)=1{,}2^{0{,}5}\times f\left(x\right). En déduire le pourcentage d'augmentation de la population en une demi-semaine, arrondi à 0,01%0{,}01\%.

Correction
f(x+0,5)=3×1,2x+0,5=3×1,2x×1,20,5=1,20,5×f(x)f\left(x+0{,}5\right)=3\times1{,}2^{x+0{,}5}=3\times1{,}2^{x}\times1{,}2^{0{,}5}=1{,}2^{0{,}5}\times f\left(x\right).
En une demi-semaine, la population est multipliée par 1,20,5≈1,09541{,}2^{0{,}5}\approx1{,}0954, soit :
+9,54%+9{,}54\%

Ce n'est pas 20%2=10%\frac{20\%}{2}=10\% : deux hausses de 10%10\% donneraient 1,12=1,211{,}1^{2}=1{,}21, soit +21%+21\% par semaine.
Question 3

Montrer que f(x+2)=1,44×f(x)f\left(x+2\right)=1{,}44\times f\left(x\right). De quel pourcentage la population augmente-t-elle en deux semaines ?

Correction
f(x+2)=3×1,2x+2=3×1,2x×1,22=1,22×f(x)f\left(x+2\right)=3\times1{,}2^{x+2}=3\times1{,}2^{x}\times1{,}2^{2}=1{,}2^{2}\times f\left(x\right) et 1,22=1,441{,}2^{2}=1{,}44, d'où :
f(x+2)=1,44×f(x)f\left(x+2\right)=1{,}44\times f\left(x\right)

En deux semaines, la population augmente de 44%44\% (et non de 2×20=40%2\times20=40\%).
Question 4

Calculer f(0)f\left(0\right), puis f(1,5)f\left(1{,}5\right) arrondi au centième. Interpréter.

Correction
f(0)=3×1,20=3×1=3f\left(0\right)=3\times1{,}2^{0}=3\times1=3 : au début de l'observation, il y a 33 milliers d'insectes.
f(1,5)=3×1,21,5≈3,94f\left(1{,}5\right)=3\times1{,}2^{1{,}5}\approx3{,}94 : au bout d'une semaine et demie, il y a environ 3 9403\,940 insectes.
f(1,5)≈3,94f\left(1{,}5\right)\approx3{,}94

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