Utiliser les propriétés algébriques des fonctions exponentielles - Exercice 1

10 min

Écrire chaque nombre sous la forme d'une seule puissance, puis le calculer sans calculatrice.

Question 1

$A=1{,}5^{0{,}3}\times1{,}5^{0{,}7}$

Correction

Soit

a

b

deux réels strictement positifs,

x

y

deux réels positifs. Les règles de calcul sur les puissances entières restent vraies (propriétés admises) :

$a^{x}\times a^{y}=a^{x+y}$ et $\frac{a^{x}}{a^{y}}=a^{x-y}$ (si $x\geqslant y$ ) ;
$\left(a^{x}\right)^{y}=a^{x\times y}$ ;
$a^{x}\times b^{x}=\left(a\times b\right)^{x}$ et $\frac{a^{x}}{b^{x}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{x}$ ;
$a^{0}=1$ et $a^{1}=a$ .

On a un produit de deux puissances de

1{,}5

: on

\red{\text{ajoute}}

les exposants.

A=1{,}5^{0{,}3+0{,}7}=1{,}5^{1}

, d'où :

A=1{,}5

Question 2

$B=3^{2{,}4}\times3^{0{,}6}$

Correction

On ajoute les exposants :

B=3^{2{,}4+0{,}6}=3^{3}=3\times3\times3

, d'où :

B=27

Question 3

$C=\frac{7^{3{,}5}}{7^{1{,}5}}$

Correction

On a un quotient de deux puissances de

7

: on

\red{\text{soustrait}}

les exposants.

C=7^{3{,}5-1{,}5}=7^{2}

, d'où :

C=49

Question 4

$D=\left(4^{0{,}5}\right)^{3}$

Correction

Une puissance de puissance : on

\red{\text{multiplie}}

les exposants.

D=4^{0{,}5\times3}=4^{1{,}5}

.
Pour le calculer sans calculatrice, on utilise

4^{0{,}5}=\sqrt{4}=2

D=\left(4^{0{,}5}\right)^{3}=2^{3}

, d'où :

D=4^{1{,}5}=8

Question 5

$E=\left(5^{0{,}4}\right)^{5}$

Correction

On multiplie les exposants :

E=5^{0{,}4\times5}=5^{2}

, d'où :

E=25

Question 6

$F=2^{0{,}5}\times8^{0{,}5}$

Correction

Les bases sont différentes, mais l'exposant est le même :

a^{x}\times b^{x}=\left(a\times b\right)^{x}

F=\left(2\times8\right)^{0{,}5}=16^{0{,}5}=\sqrt{16}

, d'où :

F=4

Question 7

$G=\frac{50^{0{,}5}}{2^{0{,}5}}$

Correction

Même exposant :

\frac{a^{x}}{b^{x}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{x}

G=\left(\frac{50}{2}\right)^{0{,}5}=25^{0{,}5}=\sqrt{25}

, d'où :

G=5

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Utiliser les propriétés algébriques des fonctions exponentielles - Exercice 1

A=1,50,3×1,50,7A=1{,}5^{0{,}3}\times1{,}5^{0{,}7}A=1,50,3×1,50,7

B=32,4×30,6B=3^{2{,}4}\times3^{0{,}6}B=32,4×30,6

C=73,571,5C=\frac{7^{3{,}5}}{7^{1{,}5}}C=71,573,5​

D=(40,5)3D=\left(4^{0{,}5}\right)^{3}D=(40,5)3

E=(50,4)5E=\left(5^{0{,}4}\right)^{5}E=(50,4)5

F=20,5×80,5F=2^{0{,}5}\times8^{0{,}5}F=20,5×80,5

G=500,520,5G=\frac{50^{0{,}5}}{2^{0{,}5}}G=20,5500,5​

$A=1{,}5^{0{,}3}\times1{,}5^{0{,}7}$

$B=3^{2{,}4}\times3^{0{,}6}$

$C=\frac{7^{3{,}5}}{7^{1{,}5}}$

$D=\left(4^{0{,}5}\right)^{3}$

$E=\left(5^{0{,}4}\right)^{5}$

$F=2^{0{,}5}\times8^{0{,}5}$

$G=\frac{50^{0{,}5}}{2^{0{,}5}}$