Résoudre un problème de seuil et estimer un ordre de grandeur - Exercice 3

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On rappelle que 210=1 0242^{10}=1\,024.
Question 1

Justifier que 210≈1032^{10}\approx10^{3}, puis donner un ordre de grandeur de 2202^{20} et de 2302^{30} sans calculatrice.

Correction
210=1 0242^{10}=1\,024 est proche de 1 000=1031\,000=10^{3}.
220=(210)2≈(103)2=1062^{20}=\left(2^{10}\right)^{2}\approx\left(10^{3}\right)^{2}=10^{6} et 230=(210)3≈(103)3=1092^{30}=\left(2^{10}\right)^{3}\approx\left(10^{3}\right)^{3}=10^{9}.
220≈1062^{20}\approx10^{6}
et
230≈1092^{30}\approx10^{9}

Valeurs exactes : 220=1 048 5762^{20}=1\,048\,576 (environ un million) et 230=1 073 741 8242^{30}=1\,073\,741\,824 (environ un milliard).
Question 2

Une bactérie se divise en deux toutes les 2020 minutes. En partant d'une seule bactérie, donner un ordre de grandeur du nombre de bactéries au bout de 1010 heures.

Correction
1010 h =600=600 min et 60020=30\frac{600}{20}=30 : il y a 3030 divisions. Le nombre de bactéries est multiplié par 22 à chaque division :
230≈1092^{30}\approx10^{9}

Au bout de 1010 heures, il y a environ un milliard de bactéries.
Question 3

D'après la « règle de 70 », une grandeur qui augmente de t%t\% par an double en environ 70t\frac{70}{t} années. Vérifier cette règle pour t=2t=2, t=3t=3 et t=7t=7 à l'aide de la calculatrice.

Correction
  • t=2t=2 : 702=35\frac{70}{2}=35 et 1,0235≈1,99991{,}02^{35}\approx1{,}9999 ;
  • t=3t=3 : 703≈23,3\frac{70}{3}\approx23{,}3 et 1,03703≈1,99311{,}03^{\frac{70}{3}}\approx1{,}9931 ;
  • t=7t=7 : 707=10\frac{70}{7}=10 et 1,0710≈1,96721{,}07^{10}\approx1{,}9672.
À chaque fois, on obtient un coefficient proche de 22 : la grandeur a presque doublé.
La règle de 70 donne un bon ordre de grandeur du temps de doublement.

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