Résoudre un problème de seuil et estimer un ordre de grandeur - Exercice 2

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On reprend le médicament de la fiche précédente : la quantité, en mg, au bout de xx heures est Q(x)=20×0,7xQ\left(x\right)=20\times0{,}7^{x}. Le médicament n'est plus efficace quand il en reste moins de 55 mg. La courbe de QQ est tracée ci-dessous.
Question 1

Graphiquement, au bout de combien de temps environ le médicament n'est-il plus efficace ?

Correction
La droite d'équation y=5y=5 coupe la courbe au point d'abscisse x≈3,9x\approx3{,}9. Au-delà, la courbe est au-dessous de la droite.
Le médicament n'est plus efficace au bout d'environ 3,93{,}9 h.
Question 2

Par le calcul, donner un encadrement au dixième de la valeur cherchée, puis la réponse en heures et minutes.

Correction
Q(3,8)=20×0,73,8≈5,16>5Q\left(3{,}8\right)=20\times0{,}7^{3{,}8}\approx5{,}16\gt 5 et Q(3,9)=20×0,73,9≈4,98<5Q\left(3{,}9\right)=20\times0{,}7^{3{,}9}\approx4{,}98\lt 5 : la valeur cherchée est entre 3,83{,}8 et 3,93{,}9 h.
0,80{,}8 h =0,8×60=48=0{,}8\times60=48 min et 0,90{,}9 h =54=54 min.
Le médicament n'est plus efficace entre 33 h 4848 min et 33 h 5454 min après l'injection.
Question 3

Compléter le programme Python pour qu'il affiche ce seuil au dixième.
k = 0
while ........ :
        k = k + 1
print(k/10)

Correction
On répète tant que le médicament est encore efficace, c'est-à-dire tant que Q(k10)⩾5Q\left(\frac{k}{10}\right)\geqslant5 :
k = 0
while 20*0.7**(k/10) >= 5:
        k = k + 1
print(k/10)

Le programme affiche 3.9 : c'est le premier dixième d'heure où il reste moins de 55 mg.

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