Résoudre un problème de seuil et estimer un ordre de grandeur - Exercice 1

10 min

On place un capital au taux annuel de

3\%

: au bout de

x

années, il est multiplié par

1{,}03^{x}

. On cherche au bout de combien de temps le capital aura doublé, c'est-à-dire qu'on veut résoudre

1{,}03^{x}\geqslant2

Question 1

À l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier $n$ tel que $1{,}03^{n}\geqslant2$ .

Correction

Pour résoudre un problème de seuil

f\left(x\right)\geqslant m

(ou

f\left(x\right)\leqslant m

) avec

f\left(x\right)=k\times a^{x}

, on peut :

calculer : tableau de valeurs avec un pas de $1$ , puis avec un pas de $0{,}1$ entre les deux valeurs qui encadrent le seuil ;
lire un graphique : abscisse du point de la courbe d'ordonnée $m$ ;
programmer : une boucle « tant que » (while) en Python, ou un tableur.

On revient ensuite au contexte (années, heures…), en vérifiant avec deux valeurs qui encadrent le seuil.

Avec un tableau de valeurs de pas

1

(menu « table » de la calculatrice) :

$1{,}03^{23}\approx1{,}9736\lt 2$ ;
$1{,}03^{24}\approx2{,}0328\geqslant2$ .

La fonction

x\mapsto1{,}03^{x}

est croissante (

1{,}03\gt 1

) : les valeurs suivantes sont encore plus grandes.

n=24

Question 2

Affiner le résultat au dixième, avec un tableau de valeurs de pas $0{,}1$ entre $23$ et $24$ .

Correction

On reprend la table à partir de

23

, avec un pas de

0{,}1

$1{,}03^{23{,}4}\approx1{,}9971\lt 2$ ;
$1{,}03^{23{,}5}\approx2{,}0030\geqslant2$ .

Le capital double au bout d'environ

23{,}5

ans.

Question 3

On considère le programme Python ci-dessous. Quelle valeur affiche-t-il ? Que représente-t-elle ?
k = 0
while 1.03**(k/10) < 2:
k = k + 1
print(k/10)

Correction

La variable

k

compte les dixièmes d'année. Tant que

1{,}03^{\frac{k}{10}}\lt 2

, on ajoute

1

k

: la boucle s'arrête au premier

k

tel que

1{,}03^{\frac{k}{10}}\geqslant2

, c'est-à-dire

k=235

Le programme affiche

23{,}5

(écrit 23.5).

C'est le plus petit nombre d'années, au dixième près, pour lequel le capital a doublé : on retrouve le résultat de la question 2.

On compte avec un entier

k

, puis on divise par

10

: ajouter

0{,}1

à chaque tour donnerait des valeurs comme 23.500000000000064, à cause des arrondis de l'ordinateur.

Question 4

En réalité, les intérêts sont versés une fois par an, à la date anniversaire du placement. Au bout de combien d'années le capital aura-t-il effectivement doublé ?

Correction

Le capital n'augmente qu'aux dates anniversaires :

x

doit être un entier. D'après la question 1, il faut attendre :

24

ans.

Toujours revenir au contexte : la réponse n'est pas toujours la valeur au dixième.

Signaler une erreur

Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.

Résoudre un problème de seuil et estimer un ordre de grandeur - Exercice 1

À l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier nnn tel que 1,03n⩾21{,}03^{n}\geqslant21,03n⩾2.

Affiner le résultat au dixième, avec un tableau de valeurs de pas 0,10{,}10,1 entre 232323 et 242424.

On considère le programme Python ci-dessous. Quelle valeur affiche-t-il ? Que représente-t-elle ?k = 0while 1.03**(k/10) < 2: k = k + 1print(k/10)

En réalité, les intérêts sont versés une fois par an, à la date anniversaire du placement. Au bout de combien d'années le capital aura-t-il effectivement doublé ?

À l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier $n$ tel que $1{,}03^{n}\geqslant2$ .

Affiner le résultat au dixième, avec un tableau de valeurs de pas $0{,}1$ entre $23$ et $24$ .

On considère le programme Python ci-dessous. Quelle valeur affiche-t-il ? Que représente-t-elle ?
k = 0
while 1.03**(k/10) < 2:
k = k + 1
print(k/10)