Représenter graphiquement une fonction exponentielle et exploiter sa courbe - Exercice 3

10 min

On considère la fonction

g

définie sur

\left[0;6\right]

par

g\left(x\right)=8\times0{,}75^{x}

Question 1

Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir au centième).

Correction

On calcule par exemple

g\left(0{,}5\right)=8\times0{,}75^{0{,}5}\approx6{,}93

g\left(3\right)=8\times0{,}75^{3}=3{,}375\approx3{,}38

. De même,

g\left(4\right)=8\times0{,}75^{4}\approx2{,}53

;

g\left(5\right)\approx1{,}90

;

g\left(6\right)\approx1{,}42

.
D'une valeur entière de

x

à la suivante, on multiplie par

0{,}75

8\times0{,}75=6

;

6\times0{,}75=4{,}5

…

Question 2

Tracer la courbe de $g$ dans un repère.

Correction

On place les points du tableau, puis on les relie par une courbe régulière (pas par des segments) :

Question 3

Donner le sens de variation de $g$ . Justifier.

Correction

Soit

k

a

deux réels strictement positifs et

f\left(x\right)=k\times a^{x}

sur

\left[0;+\infty\right[

la courbe de $f$ passe par le point $\left(0;k\right)$ car $a^{0}=1$ , et par le point $\left(1;k\times a\right)$ ;
si $a\gt 1$ , la courbe monte : $f$ est $\red{\text{croissante}}$ ; si $0\lt a\lt 1$ , la courbe descend : $f$ est $\red{\text{décroissante}}$ ; si $a=1$ , $f$ est constante ;
quand $x$ augmente de $1$ , l'ordonnée est multipliée par $a$ : la courbe n'est pas une droite.

Ici

k=8\gt 0

0\lt a=0{,}75\lt 1

g

est décroissante sur

\left[0;6\right]

C'est cohérent avec la courbe, qui descend.

Question 4

Résoudre graphiquement l'inéquation $g\left(x\right)\leqslant4$ , puis contrôler à la calculatrice.

Correction

Les points de la courbe situés au-dessous de la droite d'équation

y=4

ont une abscisse supérieure ou égale à

2{,}4

environ.

Contrôle :

g\left(2{,}4\right)\approx4{,}01\gt 4

g\left(2{,}5\right)\approx3{,}90\lt 4

: la valeur cherchée est entre

2{,}4

2{,}5

g\left(x\right)\leqslant4

pour

x

compris entre

2{,}4

environ et

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Représenter graphiquement une fonction exponentielle et exploiter sa courbe - Exercice 3

Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir au centième).

Tracer la courbe de ggg dans un repère.

Donner le sens de variation de ggg. Justifier.

Résoudre graphiquement l'inéquation g(x)⩽4g\left(x\right)\leqslant4g(x)⩽4, puis contrôler à la calculatrice.

Tracer la courbe de $g$ dans un repère.

Donner le sens de variation de $g$ . Justifier.

Résoudre graphiquement l'inéquation $g\left(x\right)\leqslant4$ , puis contrôler à la calculatrice.