Représenter graphiquement une fonction exponentielle et exploiter sa courbe - Exercice 2

10 min

La masse d'une culture de levures, en grammes, est modélisée par

f\left(x\right)=20\times1{,}25^{x}

, où

x

est le temps écoulé en heures, avec

0\leqslant x\leqslant8

. Sa courbe est tracée ci-dessous.

Question 1

Lire graphiquement la masse au départ et au bout de $4$ heures. Vérifier par le calcul.

Correction

On lit l'ordonnée des points d'abscisses

0

4

: environ

20

g et

49

g.
Calcul :

f\left(0\right)=20\times1{,}25^{0}=20

f\left(4\right)=20\times1{,}25^{4}\approx48{,}8

f\left(0\right)=20

f\left(4\right)\approx48{,}8

Question 2

Calculer la masse au bout de $2$ h $30$ min, arrondie au dixième.

Correction

2

30

min

=2{,}5

f\left(2{,}5\right)=20\times1{,}25^{2{,}5}\approx34{,}9

f\left(2{,}5\right)\approx34{,}9

Au bout de

2

30

min, la masse est d'environ

34{,}9

Question 3

Résoudre graphiquement l'équation $f\left(x\right)=60$ , puis contrôler à la calculatrice. Interpréter.

Correction

Pour résoudre graphiquement

f\left(x\right)=m

, on trace la droite horizontale d'équation

y=m

et on lit l'abscisse du point d'intersection avec la courbe de

f

$f\left(x\right)\geqslant m$ : on lit les abscisses des points de la courbe situés $\red{\text{au-dessus}}$ de la droite (ou sur la droite) ;
$f\left(x\right)\leqslant m$ : on lit les abscisses des points de la courbe situés $\red{\text{au-dessous}}$ de la droite (ou sur la droite) ;
une lecture graphique est approchée : on la contrôle par le calcul.

La droite d'équation

y=60

coupe la courbe au point d'abscisse

x\approx4{,}9

Contrôle :

f\left(4{,}9\right)\approx59{,}69\lt 60

f\left(5\right)\approx61{,}04\gt 60

: la solution est comprise entre

4{,}9

5

La masse atteint

60

g au bout d'environ

4{,}9

h, soit à peu près

4

55

min.

Question 4

Résoudre graphiquement l'inéquation $f\left(x\right)\geqslant40$ sur $\left[0;8\right]$ . Interpréter.

Correction

On cherche les points de la courbe situés au-dessus de la droite d'équation

y=40

: ce sont ceux dont l'abscisse est supérieure ou égale à

3{,}1

environ.

Contrôle :

f\left(3{,}1\right)\approx39{,}94\lt 40

f\left(3{,}2\right)\approx40{,}85\gt 40

f\left(x\right)\geqslant40

pour

x

compris entre

3{,}1

environ et

8

La masse dépasse

40

g (le double de la masse de départ) à partir d'environ

3{,}1

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Représenter graphiquement une fonction exponentielle et exploiter sa courbe - Exercice 2

Lire graphiquement la masse au départ et au bout de 444 heures. Vérifier par le calcul.

Calculer la masse au bout de 222 h 303030 min, arrondie au dixième.

Résoudre graphiquement l'équation f(x)=60f\left(x\right)=60f(x)=60, puis contrôler à la calculatrice. Interpréter.

Résoudre graphiquement l'inéquation f(x)⩾40f\left(x\right)\geqslant40f(x)⩾40 sur [0;8]\left[0;8\right][0;8]. Interpréter.

Lire graphiquement la masse au départ et au bout de $4$ heures. Vérifier par le calcul.

Calculer la masse au bout de $2$ h $30$ min, arrondie au dixième.

Résoudre graphiquement l'équation $f\left(x\right)=60$ , puis contrôler à la calculatrice. Interpréter.

Résoudre graphiquement l'inéquation $f\left(x\right)\geqslant40$ sur $\left[0;8\right]$ . Interpréter.