Représenter graphiquement une fonction exponentielle et exploiter sa courbe - Exercice 1

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On a tracé ci-dessous, sur [0;2,5]\left[0;2{,}5\right], les courbes C1\mathcal{C}_{1}, C2\mathcal{C}_{2}, C3\mathcal{C}_{3} et C4\mathcal{C}_{4} des fonctions ff, gg, hh et pp définies par :
f(x)=2xf\left(x\right)=2^{x} ; g(x)=4×0,5xg\left(x\right)=4\times0{,}5^{x} ; h(x)=0,5×3xh\left(x\right)=0{,}5\times3^{x} ; p(x)=0,7xp\left(x\right)=0{,}7^{x}.
Question 1

Pour chaque fonction, calculer l'image de 00 et donner le sens de variation sur [0;2,5]\left[0;2{,}5\right].

Correction
Soit kk et aa deux réels strictement positifs et f(x)=k×axf\left(x\right)=k\times a^{x} sur [0;+∞[\left[0;+\infty\right[ :
  • la courbe de ff passe par le point (0;k)\left(0;k\right) car a0=1a^{0}=1, et par le point (1;k×a)\left(1;k\times a\right) ;
  • si a>1a\gt 1, la courbe monte : ff est croissante\red{\text{croissante}} ; si 0<a<10\lt a\lt 1, la courbe descend : ff est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} ; si a=1a=1, ff est constante ;
  • quand xx augmente de 11, l'ordonnée est multipliée par aa : la courbe n'est pas une droite.
  • f(0)=20=1f\left(0\right)=2^{0}=1 ; a=2>1a=2\gt 1 : ff est croissante\red{\text{croissante}} ;
  • g(0)=4×0,50=4g\left(0\right)=4\times0{,}5^{0}=4 ; k=4>0k=4\gt 0 et 0<0,5<10\lt 0{,}5\lt 1 : gg est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} ;
  • h(0)=0,5×30=0,5h\left(0\right)=0{,}5\times3^{0}=0{,}5 ; k=0,5>0k=0{,}5\gt 0 et 3>13\gt 1 : hh est croissante\red{\text{croissante}} ;
  • p(0)=0,70=1p\left(0\right)=0{,}7^{0}=1 ; 0<0,7<10\lt 0{,}7\lt 1 : pp est deˊcroissante\red{\text{décroissante}}.
Question 2

Associer chaque courbe à sa fonction. Justifier.

Correction
On utilise le point de départ (0;k)\left(0;k\right) et le sens de variation :
  • C1\mathcal{C}_{1} part du point (0;4)\left(0;4\right) : c'est la courbe de gg ;
  • C2\mathcal{C}_{2} part du point (0;0,5)\left(0;0{,}5\right) : c'est la courbe de hh ;
  • C3\mathcal{C}_{3} et C4\mathcal{C}_{4} partent toutes deux du point (0;1)\left(0;1\right) : C3\mathcal{C}_{3} descend, c'est la courbe de pp ; C4\mathcal{C}_{4} monte, c'est la courbe de ff.
Question 3

Les courbes de ff et de hh se coupent. À l'aide de la calculatrice, déterminer à partir de quelle valeur de xx, au dixième près, on a h(x)⩾f(x)h\left(x\right)\geqslant f\left(x\right).

Correction
On calcule les deux images autour du point d'intersection lu sur le graphique (vers x=1,7x=1{,}7) :
  • f(1,7)=21,7≈3,249f\left(1{,}7\right)=2^{1{,}7}\approx3{,}249 et h(1,7)=0,5×31,7≈3,237h\left(1{,}7\right)=0{,}5\times3^{1{,}7}\approx3{,}237 : h(1,7)<f(1,7)h\left(1{,}7\right)\lt f\left(1{,}7\right) ;
  • f(1,8)=21,8≈3,482f\left(1{,}8\right)=2^{1{,}8}\approx3{,}482 et h(1,8)=0,5×31,8≈3,612h\left(1{,}8\right)=0{,}5\times3^{1{,}8}\approx3{,}612 : h(1,8)>f(1,8)h\left(1{,}8\right)\gt f\left(1{,}8\right).
Les courbes se coupent entre x=1,7x=1{,}7 et x=1,8x=1{,}8 : h(x)⩾f(x)h\left(x\right)\geqslant f\left(x\right) à partir de x≈1,7x\approx1{,}7.

Au départ, hh est en dessous de ff (0,5<10{,}5\lt 1), mais hh est multipliée par 33 à chaque unité, et ff seulement par 22 : hh finit par dépasser ff.

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