Modéliser une évolution exponentielle sur des durées non entières - Exercice 5

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Au début d'une épidémie, chaque personne malade contamine en moyenne R0=2,5R_{0}=2{,}5 personnes. On appelle « génération » la durée moyenne entre deux contaminations successives ; ici, une génération dure 55 jours. Le nombre de nouveaux cas est modélisé par N(x)=100×2,5xN\left(x\right)=100\times2{,}5^{x}, où xx est le nombre de générations écoulées.
Question 1

Estimer le nombre de nouveaux cas au bout de 1212 jours.

Correction
1212 jours =125=2,4=\frac{12}{5}=2{,}4 générations. N(2,4)=100×2,52,4≈901,69N\left(2{,}4\right)=100\times2{,}5^{2{,}4}\approx901{,}69.
Environ 902902 nouveaux cas au bout de 1212 jours.
Question 2

Grâce à des mesures de prévention, R0R_{0} passe à 0,80{,}8 et le modèle devient M(x)=100×0,8xM\left(x\right)=100\times0{,}8^{x}. Donner le sens de variation de MM, puis estimer le nombre de nouveaux cas au bout de 1212 jours.

Correction
k=100>0k=100\gt 0 et 0<0,8<10\lt 0{,}8\lt 1 : MM est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} ; l'épidémie recule.
M(2,4)=100×0,82,4≈58,54M\left(2{,}4\right)=100\times0{,}8^{2{,}4}\approx58{,}54.
Environ 5959 nouveaux cas au bout de 1212 jours, au lieu de 902902.

Tout se joue sur la position de R0R_{0} par rapport à 11 : si R0>1R_{0}\gt 1, l'épidémie progresse ; si R0<1R_{0}\lt 1, elle recule.

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