Modéliser une évolution exponentielle sur des durées non entières - Exercice 4

10 min
20
On injecte à un patient 2020 mg d'un médicament. Chaque heure, 30%30\% de la quantité présente dans le sang est éliminée.
Question 1

Justifier que la quantité de médicament, en mg, au bout de xx heures est Q(x)=20×0,7xQ\left(x\right)=20\times0{,}7^{x}.

Correction
Chaque heure, la quantité diminue de 30%30\% : elle est multipliée par 1−30100=0,71-\frac{30}{100}=0{,}7. Au départ, Q(0)=20Q\left(0\right)=20. D'où :
Q(x)=20×0,7xQ\left(x\right)=20\times0{,}7^{x}
Question 2

Calculer la quantité de médicament au bout de 3030 minutes, puis au bout de 11 h 3030 min (arrondir au centième).

Correction
  • 3030 min =0,5=0{,}5 h : Q(0,5)=20×0,70,5≈16,73Q\left(0{,}5\right)=20\times0{,}7^{0{,}5}\approx16{,}73 mg ;
  • 11 h 3030 min =1,5=1{,}5 h : Q(1,5)=20×0,71,5≈11,71Q\left(1{,}5\right)=20\times0{,}7^{1{,}5}\approx11{,}71 mg.
Q(0,5)≈16,73Q\left(0{,}5\right)\approx16{,}73
et
Q(1,5)≈11,71Q\left(1{,}5\right)\approx11{,}71

Question 3

Quel pourcentage de la quantité est éliminé en une demi-heure ? Arrondir à 0,01%0{,}01\%.

Correction
En une demi-heure, la quantité est multipliée par 0,70,5≈0,83670{,}7^{0{,}5}\approx0{,}8367, et 1−0,70,5≈0,16331-0{,}7^{0{,}5}\approx0{,}1633.
16,33%16{,}33\%
de la quantité est éliminée en une demi-heure (et non 15%15\%).

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