Modéliser une évolution exponentielle sur des durées non entières - Exercice 3

10 min
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Le carbone 14 a une demi-vie de 5 7305\,730 ans. La proportion de carbone 14 qui reste dans un organisme, xx demi-vies après sa mort, est p(x)=0,5xp\left(x\right)=0{,}5^{x}.
Question 1

Quelle proportion de carbone 14 reste-t-il au bout de 1 0001\,000 ans ? Arrondir au millième.

Correction
1 0001\,000 ans =1 0005 730=\frac{1\,000}{5\,730} demi-vie. p(1 0005 730)=0,51 0005 730≈0,886p\left(\frac{1\,000}{5\,730}\right)=0{,}5^{\frac{1\,000}{5\,730}}\approx0{,}886.
p≈0,886p\approx0{,}886

Au bout de 1 0001\,000 ans, il reste environ 88,6%88{,}6\% du carbone 14.
Question 2

Un os contient 40%40\% du carbone 14 initial. Calculer 0,51,30{,}5^{1{,}3} et 0,51,40{,}5^{1{,}4} au dix-millième, puis en déduire un encadrement de l'âge de l'os.

Correction
On cherche xx tel que 0,5x=0,40{,}5^{x}=0{,}4 :
  • 0,51,3≈0,4061>0,40{,}5^{1{,}3}\approx0{,}4061\gt 0{,}4 ;
  • 0,51,4≈0,3789<0,40{,}5^{1{,}4}\approx0{,}3789\lt 0{,}4.
La fonction pp est décroissante, donc xx est compris entre 1,31{,}3 et 1,41{,}4 demi-vies.
1,3×5 730=7 4491{,}3\times5\,730=7\,449 et 1,4×5 730=8 0221{,}4\times5\,730=8\,022.
L'os a entre 7 4497\,449 et 8 0228\,022 ans : environ 7 5007\,500 ans.

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