Modéliser une évolution exponentielle sur des durées non entières - Exercice 2

10 min
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L'iode 131, utilisé en médecine, est radioactif : sa demi-vie est de 88 jours, c'est-à-dire que sa masse est divisée par 22 tous les 88 jours. Un échantillon contient 100100 mg d'iode 131. On note m(x)=100×0,5xm\left(x\right)=100\times0{,}5^{x} la masse restante, en mg, au bout de xx demi-vies.
Question 1

Calculer la masse restante au bout de 88 jours, puis au bout de 1616 jours.

Correction
88 jours =1=1 demi-vie et 1616 jours =2=2 demi-vies :
  • m(1)=100×0,5=50m\left(1\right)=100\times0{,}5=50 mg ;
  • m(2)=100×0,52=25m\left(2\right)=100\times0{,}5^{2}=25 mg.
Question 2

Combien de demi-vies représentent 44 jours ? En déduire la masse restante au bout de 44 jours, arrondie au centième.

Correction
44 jours =48=0,5=\frac{4}{8}=0{,}5 demi-vie. m(0,5)=100×0,50,5≈70,71m\left(0{,}5\right)=100\times0{,}5^{0{,}5}\approx70{,}71.
m(0,5)≈70,71m\left(0{,}5\right)\approx70{,}71

Au bout de 44 jours, il reste environ 70,7170{,}71 mg d'iode 131.
Il ne reste pas 7575 mg (la moitié du chemin entre 100100 et 5050) : la masse diminue plus vite au début, la courbe n'est pas une droite.
Question 3

Calculer la masse restante au bout de 2020 jours, puis au bout d'un jour (arrondir au centième).

Correction
  • 2020 jours =208=2,5=\frac{20}{8}=2{,}5 demi-vies : m(2,5)=100×0,52,5≈17,68m\left(2{,}5\right)=100\times0{,}5^{2{,}5}\approx17{,}68 mg ;
  • 11 jour =18=0,125=\frac{1}{8}=0{,}125 demi-vie : m(0,125)=100×0,50,125≈91,70m\left(0{,}125\right)=100\times0{,}5^{0{,}125}\approx91{,}70 mg.
m(2,5)≈17,68m\left(2{,}5\right)\approx17{,}68
et
m(0,125)≈91,70m\left(0{,}125\right)\approx91{,}70

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