Modéliser une évolution exponentielle sur des durées non entières - Exercice 1

10 min
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On place 5 0005\,000 € à intérêts composés au taux annuel de 3%3\%. On modélise la valeur du capital, en euros, au bout de xx années par C(x)=5 000×1,03xC\left(x\right)=5\,000\times1{,}03^{x}, pour x⩾0x\geqslant0.
Question 1

Justifier cette modélisation.

Correction
Si une grandeur est multipliée par aa à chaque unité de temps (année, heure, demi-vie…), alors au bout d'une durée xx, entière ou non, elle est multipliée par axa^{x} : on la modélise par f(x)=f(0)×axf\left(x\right)=f\left(0\right)\times a^{x} pour x⩾0x\geqslant0.
  • hausse de t%t\% par unité de temps : a=1+t100a=1+\frac{t}{100} ; baisse de t%t\% : a=1−t100a=1-\frac{t}{100} ;
  • grandeur divisée par 22 à chaque demi-vie : a=0,5a=0{,}5, avec xx exprimé en demi-vies ;
  • on convertit toujours la durée dans l'unité de temps du modèle : 66 mois =0,5=0{,}5 an, 44 jours =0,5=0{,}5 demi-vie si la demi-vie dure 88 jours.
Chaque année, le capital augmente de 3%3\% : il est multiplié par 1+3100=1,031+\frac{3}{100}=1{,}03. Au départ, C(0)=5 000C\left(0\right)=5\,000. D'où :
C(x)=5 000×1,03xC\left(x\right)=5\,000\times1{,}03^{x}
Question 2

Calculer la valeur du capital au bout de 66 mois, puis au bout de 22 ans et 33 mois. Arrondir au centime.

Correction
On convertit en années : 66 mois =0,5=0{,}5 an ; 22 ans et 33 mois =2+312=2,25=2+\frac{3}{12}=2{,}25 ans.
  • C(0,5)=5 000×1,030,5≈5 074,45C\left(0{,}5\right)=5\,000\times1{,}03^{0{,}5}\approx5\,074{,}45 € ;
  • C(2,25)=5 000×1,032,25≈5 343,84C\left(2{,}25\right)=5\,000\times1{,}03^{2{,}25}\approx5\,343{,}84 €.
C(0,5)≈5 074,45C\left(0{,}5\right)\approx5\,074{,}45
et
C(2,25)≈5 343,84C\left(2{,}25\right)\approx5\,343{,}84

Au bout de 66 mois, le capital n'a pas gagné 1,5%1{,}5\% (7575 €), mais 1,030,5−1≈1,49%1{,}03^{0{,}5}-1\approx1{,}49\%.
Question 3

Calculer la valeur du capital au bout de 1010 ans. Les intérêts gagnés en 1010 ans sont-ils égaux à 1010 fois les intérêts de la première année ?

Correction
C(10)=5 000×1,0310≈6 719,58C\left(10\right)=5\,000\times1{,}03^{10}\approx6\,719{,}58 €. Les intérêts gagnés en 1010 ans valent environ 6 719,58−5 000=1 719,586\,719{,}58-5\,000=1\,719{,}58 €.
La première année, les intérêts valent 5 000×0,03=1505\,000\times0{,}03=150 € ; 1010 fois plus donnerait 1 5001\,500 €.
Non : 1 719,581\,719{,}58 € >1 500\gt 1\,500 €.
Avec les intérêts composés, les intérêts rapportent eux-mêmes des intérêts.

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