Métropole – 11 septembre 2026 - Exercice 1

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Des biologistes étudient une population de bactéries. On modélise l'évolution de cette population par la fonction ff définie sur l'intervalle [0;+∞[\left[0;+\infty\right[ par f(t)=10×1,15tf\left(t\right)=10\times 1{,}15^{t} où tt est exprimé en heure et f(t)f\left(t\right) en milliers de bactéries.
L'expérience débute quand t=0t=0.
Question 1

Calculer le nombre de bactéries, exprimé en milliers, au début de l'expérience.

Correction
L'expérience débute quand t=0t=0 : il nous faut calculer f(0)f\left(0\right).
f(0)=10×1,150f\left(0\right)=10\times 1{,}15^{0}
Or 1,150=11{,}15^{0}=1 (tout nombre non nul élevé à la puissance 00 vaut 11). Il vient alors que :
f(0)=10×1f\left(0\right)=10\times 1
Ainsi :
f(0)=10f\left(0\right)=10

Au début de l'expérience, il y a 1010 milliers de bactéries, c'est-à-dire 10  00010\;000 bactéries.
Question 2

Calculer le nombre de bactéries, exprimé en milliers, au bout d'une heure.

Correction
Au bout d'une heure, t=1t=1 : il nous faut calculer f(1)f\left(1\right).
f(1)=10×1,151f\left(1\right)=10\times 1{,}15^{1}
f(1)=10×1,15f\left(1\right)=10\times 1{,}15
Ainsi :
f(1)=11,5f\left(1\right)=11{,}5

Au bout d'une heure, il y a 11,511{,}5 milliers de bactéries, c'est-à-dire 11  50011\;500 bactéries.
Multiplier par 1,15=1+151001{,}15=1+\dfrac{15}{100}, c'est augmenter de 15 %15\,\% : la population augmente de 15 %15\,\% par heure.
Question 3

Déterminer le sens de variation de la fonction ff sur [0;+∞[\left[0;+\infty\right[ en justifiant.

Correction
    Soient k{\color{blue}{k}} un réel et a{\color{purple}{a}} un réel strictement positif .
  • Si k>0{\color{blue}{k\gt 0}} et 0<a<1{\color{purple}{0\lt a\lt 1}} alors f(x)=kaxf\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si k>0{\color{blue}{k\gt 0}} et a>1{\color{purple}{a\gt 1}} alors f(x)=kaxf\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R} .
    • Soit f(t)=10×1,15tf\left(t\right)={\color{blue}{10}}\times {\color{purple}{1{,}15}}^{t} où a=1,15>1{\color{purple}{a=1{,}15\gt 1}} et k=10>0{\color{blue}{k=10\gt 0}}.
    Il en résulte donc que f(t)=10×1,15tf\left(t\right)=10\times 1{,}15^{t} est croissante\red{\text{croissante}} sur [0;+∞[\left[0;+\infty\right[ .
    Dans le contexte : le nombre de bactéries augmente au cours du temps.
    Question 4

    On a f(1,5)≈12,332f\left(1{,}5\right)\approx 12{,}332. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'expérience.

    Correction
    t=1,5t=1{,}5 correspond à 1,51{,}5 heure, c'est-à-dire 11 heure et 3030 minutes (0,5×60=300{,}5\times 60=30).
    f(1,5)≈12,332f\left(1{,}5\right)\approx 12{,}332 milliers de bactéries, c'est-à-dire environ 12  33212\;332 bactéries.
    Au bout d'11 h 3030 min, il y a environ 12  33212\;332 bactéries.

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