Exercices types : 22ème partie - Exercice 3

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On dépose 1 0001\,000 € sur l'un de deux plans d'épargne :
  • plan A : on ajoute 5050 € chaque année ; la somme au bout de xx années est A(x)=1 000+50xA\left(x\right)=1\,000+50x ;
  • plan B : intérêts composés à 4%4\% par an ; la somme au bout de xx années est B(x)=1 000×1,04xB\left(x\right)=1\,000\times1{,}04^{x}.
Question 1

Quel plan a une croissance linéaire ? une croissance exponentielle ? Justifier.

Correction
Pour le plan A, on ajoute toujours 5050 € chaque année : croissance lineˊaire\red{\text{linéaire}} (sa courbe est une droite).
Pour le plan B, on multiplie toujours par 1,041{,}04 chaque année : croissance exponentielle\red{\text{exponentielle}}.
Question 2

Calculer A(x)A\left(x\right) et B(x)B\left(x\right) (au centime) pour x=10x=10, 1111, 1212 et 1313. À partir de combien d'années entières le plan B rapporte-t-il plus que le plan A ?

Correction
On calcule par exemple A(12)=1 000+50×12=1 600A\left(12\right)=1\,000+50\times12=1\,600 et B(12)=1 000×1,0412B\left(12\right)=1\,000\times1{,}04^{12}, puis de même pour les autres valeurs :

B(11)≈1 539,45<A(11)=1 550B\left(11\right)\approx1\,539{,}45\lt A\left(11\right)=1\,550, mais B(12)≈1 601,03>A(12)=1 600B\left(12\right)\approx1\,601{,}03\gt A\left(12\right)=1\,600.
Le plan B rapporte plus que le plan A à partir de 1212 ans.
Question 3

Comparer les deux plans au bout de 2020 ans et de 3030 ans. Que remarque-t-on ?

Correction
  • A(20)=2 000A\left(20\right)=2\,000 et B(20)≈2 191,12B\left(20\right)\approx2\,191{,}12 ;
  • A(30)=2 500A\left(30\right)=2\,500 et B(30)≈3 243,40B\left(30\right)\approx3\,243{,}40.
L'écart se creuse : 191,12191{,}12 € au bout de 2020 ans, 743,40743{,}40 € au bout de 3030 ans.
Une croissance exponentielle finit toujours par dépasser une croissance linéaire, et l'écart grandit de plus en plus vite.

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