Exercices types : 22ème partie - Exercice 2

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À 8 h, 55 personnes connaissent une rumeur. Le nombre de personnes qui la connaissent est multiplié par 33 toutes les heures. On modélise ce nombre par N(x)=5×3xN\left(x\right)=5\times3^{x}, où xx est le temps écoulé, en heures, depuis 8 h.
Question 1

Combien de personnes connaissent la rumeur à 10 h 30 ?

Correction
À 10 h 30, x=2,5x=2{,}5. N(2,5)=5×32,5≈77,94N\left(2{,}5\right)=5\times3^{2{,}5}\approx77{,}94.
Environ 7878 personnes connaissent la rumeur à 10 h 30.
Question 2

Le village compte 10 00010\,000 habitants. Écrire l'inéquation à résoudre pour savoir à quelle heure tout le village connaîtra la rumeur selon ce modèle, puis la résoudre au dixième près à l'aide de la calculatrice.

Correction
On résout 5×3x⩾10 0005\times3^{x}\geqslant10\,000, c'est-à-dire 3x⩾2 0003^{x}\geqslant2\,000.
  • Pas de 11 : 36=7293^{6}=729 et 37=2 1873^{7}=2\,187 : la solution est entre 66 et 77 ;
  • pas de 0,10{,}1 : 36,9≈1 959,46<2 0003^{6{,}9}\approx1\,959{,}46\lt 2\,000 et 37=2 187⩾2 0003^{7}=2\,187\geqslant2\,000.
Au dixième près, il faut x=7x=7 heures après 8 h.
Selon ce modèle, tout le village connaît la rumeur vers 15 h.

Question 3

Écrire un programme Python qui affiche ce seuil au dixième près.

Correction
k = 0
while 5*3**(k/10) < 10000:
        k = k + 1
print(k/10)

Le programme affiche 7.0 : il faut attendre 77 heures après 8 h.
Question 4

Calculer N(8)N\left(8\right). Le modèle est-il encore valable au-delà de 15 h ?

Correction
N(8)=5×38=5×6 561=32 805N\left(8\right)=5\times3^{8}=5\times6\,561=32\,805.
C'est plus que les 10 00010\,000 habitants du village :
le modèle exponentiel n'est plus valable quand presque tout le monde connaît la rumeur.
Une croissance exponentielle ne peut pas durer indéfiniment dans une population limitée.

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