Exercices types : $2$ ^ème partie - Exercice 1

10 min

Le césium 137, rejeté lors d'accidents nucléaires, a une demi-vie d'environ

30

ans. La proportion de césium 137 qui reste au bout de

x

demi-vies est

p\left(x\right)=0{,}5^{x}

. Sa courbe est tracée ci-dessous.

Question 1

Quelle proportion de césium reste-t-il au bout de $10$ ans ? au bout de $45$ ans ? Arrondir au centième.

Correction

Si une grandeur est multipliée par

a

à chaque unité de temps (année, heure, demi-vie…), alors au bout d'une durée

x

, entière ou non, elle est multipliée par

a^{x}

: on la modélise par

f\left(x\right)=f\left(0\right)\times a^{x}

pour

x\geqslant0

hausse de $t\%$ par unité de temps : $a=1+\frac{t}{100}$ ; baisse de $t\%$ : $a=1-\frac{t}{100}$ ;
grandeur divisée par $2$ à chaque demi-vie : $a=0{,}5$ , avec $x$ exprimé en demi-vies ;
on convertit toujours la durée dans l'unité de temps du modèle : $6$ mois $=0{,}5$ an, $4$ jours $=0{,}5$ demi-vie si la demi-vie dure $8$ jours.

$10$ ans $=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$ demi-vie : $p\left(\frac{1}{3}\right)=0{,}5^{\frac{1}{3}}\approx0{,}79$ ;
$45$ ans $=\frac{45}{30}=1{,}5$ demi-vie : $p\left(1{,}5\right)=0{,}5^{1{,}5}\approx0{,}35$ .

Il reste environ

79\%

du césium au bout de

10

ans et

35\%

au bout de

45

ans.

Question 2

On considère qu'un sol est décontaminé quand il reste moins de $10\%$ du césium initial. Par lecture graphique, puis à l'aide de la calculatrice, déterminer au bout de combien d'années environ.

Correction

La droite d'équation

y=0{,}1

coupe la courbe vers

x\approx3{,}3

demi-vies.

Calcul :

0{,}5^{3{,}3}\approx0{,}1015\gt 0{,}1

0{,}5^{3{,}4}\approx0{,}0947\lt 0{,}1

: le seuil est atteint entre

3{,}3

3{,}4

demi-vies, soit entre

3{,}3\times30=99

3{,}4\times30=102

ans.

Le sol est décontaminé au bout d'environ un siècle.

Question 3

Sans calculatrice, donner un ordre de grandeur de la proportion de césium qui reste au bout de $300$ ans.

Correction

300

ans

=10

demi-vies :

p\left(10\right)=0{,}5^{10}=\frac{1}{2^{10}}=\frac{1}{1\,024}\approx\frac{1}{1\,000}

Il reste environ

0{,}1\%

du césium au bout de

300

ans.

Signaler une erreur

Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.

Exercices types : 222ème partie - Exercice 1

Quelle proportion de césium reste-t-il au bout de 101010 ans ? au bout de 454545 ans ? Arrondir au centième.

On considère qu'un sol est décontaminé quand il reste moins de 10%10\%10% du césium initial. Par lecture graphique, puis à l'aide de la calculatrice, déterminer au bout de combien d'années environ.

Sans calculatrice, donner un ordre de grandeur de la proportion de césium qui reste au bout de 300300300 ans.

Exercices types : $2$ ^ème partie - Exercice 1

Quelle proportion de césium reste-t-il au bout de $10$ ans ? au bout de $45$ ans ? Arrondir au centième.

On considère qu'un sol est décontaminé quand il reste moins de $10\%$ du césium initial. Par lecture graphique, puis à l'aide de la calculatrice, déterminer au bout de combien d'années environ.

Sans calculatrice, donner un ordre de grandeur de la proportion de césium qui reste au bout de $300$ ans.