Exercices types : $1$ ^ère partie - Exercice 2

10 min

Le nombre d'abonnés d'un service de vélos en libre-service, en milliers, est modélisé par

f\left(x\right)=12\times1{,}12^{x}

, où

x

est le nombre d'années écoulées depuis le

1^{\text{er}}

janvier 2024, avec

0\leqslant x\leqslant6

. Sa courbe est tracée ci-dessous.

Question 1

Calculer $f\left(0\right)$ et interpréter.

Correction

f\left(0\right)=12\times1{,}12^{0}=12\times1=12

f\left(0\right)=12

1^{\text{er}}

janvier 2024, le service compte

12\,000

abonnés.

Question 2

Montrer que, pour tout $x$ de $\left[0;5\right]$ , $f\left(x+1\right)=1{,}12\times f\left(x\right)$ . Interpréter.

Correction

f\left(x+1\right)=12\times1{,}12^{x+1}=12\times1{,}12^{x}\times1{,}12=1{,}12\times f\left(x\right)

f\left(x+1\right)=1{,}12\times f\left(x\right)

Chaque année, le nombre d'abonnés est multiplié par

1{,}12

: il augmente de

12\%

par an.

Question 3

Donner le sens de variation de $f$ sur $\left[0;6\right]$ . Justifier.

Correction

Soit

k

a

deux réels strictement positifs et

f\left(x\right)=k\times a^{x}

sur

\left[0;+\infty\right[

la courbe de $f$ passe par le point $\left(0;k\right)$ car $a^{0}=1$ , et par le point $\left(1;k\times a\right)$ ;
si $a\gt 1$ , la courbe monte : $f$ est $\red{\text{croissante}}$ ; si $0\lt a\lt 1$ , la courbe descend : $f$ est $\red{\text{décroissante}}$ ; si $a=1$ , $f$ est constante ;
quand $x$ augmente de $1$ , l'ordonnée est multipliée par $a$ : la courbe n'est pas une droite.

Ici

k=12\gt 0

a=1{,}12\gt 1

f

est croissante sur

\left[0;6\right]

Question 4

Estimer le nombre d'abonnés au $1^{\text{er}}$ juillet 2026.

Correction

1^{\text{er}}

janvier 2024 au

1^{\text{er}}

juillet 2026, il s'écoule

2{,}5

ans :

x=2{,}5

f\left(2{,}5\right)=12\times1{,}12^{2{,}5}\approx15{,}930

Environ

15\,930

abonnés au

1^{\text{er}}

juillet 2026.

Question 5

Résoudre graphiquement $f\left(x\right)=20$ , puis contrôler à la calculatrice. Au cours de quelle année le service atteindra-t-il $20\,000$ abonnés ?

Correction

Pour résoudre graphiquement

f\left(x\right)=m

, on trace la droite horizontale d'équation

y=m

et on lit l'abscisse du point d'intersection avec la courbe de

f

$f\left(x\right)\geqslant m$ : on lit les abscisses des points de la courbe situés $\red{\text{au-dessus}}$ de la droite (ou sur la droite) ;
$f\left(x\right)\leqslant m$ : on lit les abscisses des points de la courbe situés $\red{\text{au-dessous}}$ de la droite (ou sur la droite) ;
une lecture graphique est approchée : on la contrôle par le calcul.

La droite d'équation

y=20

coupe la courbe au point d'abscisse

x\approx4{,}5

Contrôle :

f\left(4{,}5\right)\approx19{,}98\lt 20

f\left(4{,}6\right)\approx20{,}21\gt 20

: la solution est entre

4{,}5

4{,}6

x=4{,}5

correspond au

1^{\text{er}}

juillet 2028.

Le service atteindra

20\,000

abonnés au cours de l'année 2028, au début de l'été.

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Exercices types : 111ère partie - Exercice 2

Calculer f(0)f\left(0\right)f(0) et interpréter.

Montrer que, pour tout xxx de [0;5]\left[0;5\right][0;5], f(x+1)=1,12×f(x)f\left(x+1\right)=1{,}12\times f\left(x\right)f(x+1)=1,12×f(x). Interpréter.

Donner le sens de variation de fff sur [0;6]\left[0;6\right][0;6]. Justifier.

Estimer le nombre d'abonnés au 1er1^{\text{er}}1er juillet 2026.

Résoudre graphiquement f(x)=20f\left(x\right)=20f(x)=20, puis contrôler à la calculatrice. Au cours de quelle année le service atteindra-t-il 20 00020\,00020000 abonnés ?

Exercices types : $1$ ^ère partie - Exercice 2

Calculer $f\left(0\right)$ et interpréter.

Montrer que, pour tout $x$ de $\left[0;5\right]$ , $f\left(x+1\right)=1{,}12\times f\left(x\right)$ . Interpréter.

Donner le sens de variation de $f$ sur $\left[0;6\right]$ . Justifier.

Estimer le nombre d'abonnés au $1^{\text{er}}$ juillet 2026.

Résoudre graphiquement $f\left(x\right)=20$ , puis contrôler à la calculatrice. Au cours de quelle année le service atteindra-t-il $20\,000$ abonnés ?