Exercices types : 11ère partie - Exercice 1

10 min
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Les questions sont indépendantes. Calculer sans calculatrice, en détaillant.
Question 1

271327^{\frac{1}{3}} ; 0,25120{,}25^{\frac{1}{2}} ; 811481^{\frac{1}{4}}

Correction
Soit aa un réel strictement positif et nn un entier naturel non nul.
  • a1na^{\frac{1}{n}} est le seul nombre positif\red{\text{seul nombre positif}} dont la puissance nn-ième vaut aa : (a1n)n=a\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{n}=a ;
  • en particulier, a12=a0,5=aa^{\frac{1}{2}}=a^{0{,}5}=\sqrt{a} ;
  • attention : a1na^{\frac{1}{n}} n'est pas égal à an\frac{a}{n}.
  • 33=273^{3}=27, donc 2713=327^{\frac{1}{3}}=3 ;
  • 0,52=0,250{,}5^{2}=0{,}25, donc 0,2512=0,50{,}25^{\frac{1}{2}}=0{,}5 ;
  • 34=813^{4}=81, donc 8114=381^{\frac{1}{4}}=3.
2713=327^{\frac{1}{3}}=3
;
0,2512=0,50{,}25^{\frac{1}{2}}=0{,}5
;
8114=381^{\frac{1}{4}}=3
Question 2

A=60,8×61,2A=6^{0{,}8}\times6^{1{,}2}

Correction
Soit aa et bb deux réels strictement positifs, xx et yy deux réels positifs. Les règles de calcul sur les puissances entières restent vraies (propriétés admises) :
  • ax×ay=ax+ya^{x}\times a^{y}=a^{x+y} et axay=ax−y\frac{a^{x}}{a^{y}}=a^{x-y} (si x⩾yx\geqslant y) ;
  • (ax)y=ax×y\left(a^{x}\right)^{y}=a^{x\times y} ;
  • ax×bx=(a×b)xa^{x}\times b^{x}=\left(a\times b\right)^{x} et axbx=(ab)x\frac{a^{x}}{b^{x}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{x} ;
  • a0=1a^{0}=1 et a1=aa^{1}=a.
A=60,8+1,2=62A=6^{0{,}8+1{,}2}=6^{2}, d'où :
A=36A=36

Question 3

B=(100,25)4B=\left(10^{0{,}25}\right)^{4}

Correction
B=100,25×4=101B=10^{0{,}25\times4}=10^{1}, d'où :
B=10B=10
Question 4

C=120,530,5C=\frac{12^{0{,}5}}{3^{0{,}5}}

Correction
Même exposant : C=(123)0,5=40,5=4C=\left(\frac{12}{3}\right)^{0{,}5}=4^{0{,}5}=\sqrt{4}, d'où :
C=2C=2

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