Devoir n°1 : fonctions exponentielles - Exercice 3

20 min

Exercice 3 (11 points). Dans un lait laissé à température ambiante, le nombre de bactéries augmente de

26\%

par heure. Au départ, il y a

1\,000

bactéries par mL. On modélise le nombre de bactéries par mL au bout de

t

heures par

N\left(t\right)=1\,000\times1{,}26^{t}

, pour

t\geqslant0

. La courbe de

N

est tracée ci-dessous.

Question 1

Justifier cette modélisation.

Correction

Chaque heure, le nombre de bactéries augmente de

26\%

: il est multiplié par

1+\frac{26}{100}=1{,}26

. Au départ,

N\left(0\right)=1\,000

. D'où

N\left(t\right)=1\,000\times1{,}26^{t}

Barème :

1

point.

Question 2

Donner le sens de variation de $N$ sur $\left[0;+\infty\right[$ .

Correction

k=1\,000\gt 0

a=1{,}26\gt 1

N

est croissante sur

\left[0;+\infty\right[

Barème :

1

point.

Question 3

Calculer le nombre de bactéries par mL au bout de $30$ minutes, puis au bout de $1$ h $30$ min (arrondir à l'unité).

Correction

$30$ min $=0{,}5$ h : $N\left(0{,}5\right)=1\,000\times1{,}26^{0{,}5}\approx1\,122$ ;
$1$ h $30$ min $=1{,}5$ h : $N\left(1{,}5\right)=1\,000\times1{,}26^{1{,}5}\approx1\,414$ .

N\left(0{,}5\right)\approx1\,122

N\left(1{,}5\right)\approx1\,414

Barème :

0{,}5

point par conversion,

0{,}5

point par résultat.

Question 4

Calculer $1{,}26^{3}$ au dix-millième. En déduire que le nombre de bactéries double environ toutes les $3$ heures.

Correction

1{,}26^{3}=2{,}000\,376\approx2{,}0004

.
Pour tout

t\geqslant0

N\left(t+3\right)=1\,000\times1{,}26^{t}\times1{,}26^{3}=1{,}26^{3}\times N\left(t\right)\approx2\times N\left(t\right)

Toutes les

3

heures, le nombre de bactéries est multiplié par environ

2

: il double.

Barème :

0{,}5

point pour le calcul,

1

point pour la justification.

Question 5

Résoudre graphiquement $N\left(t\right)=8\,000$ . Ce résultat est-il cohérent avec la question précédente ?

Correction

La droite d'équation

y=8\,000

coupe la courbe au point d'abscisse

t\approx9

C'est cohérent :

8\,000=1\,000\times8

8=2^{3}

: il faut

3

doublements, soit

3\times3=9

heures. Contrôle :

N\left(9\right)\approx8\,005

Il y a

8\,000

bactéries par mL au bout d'environ

9

heures.

Barème :

0{,}5

point pour la lecture,

1

point pour la cohérence.

Question 6

Sans calculatrice, à l'aide de $2^{10}\approx10^{3}$ , donner un ordre de grandeur de $N\left(30\right)$ . Vérifier à la calculatrice.

Correction

30

heures, c'est

10

fois

3

heures : le nombre de bactéries double environ

10

fois.

N\left(30\right)\approx1\,000\times2^{10}\approx1\,000\times10^{3}=10^{6}

.
À la calculatrice :

N\left(30\right)=1\,000\times1{,}26^{30}\approx1\,025\,927

Environ un million de bactéries par mL au bout de

30

heures.

Barème :

1

point pour l'estimation,

0{,}5

point pour la vérification.

Question 7

Le lait n'est plus consommable au-delà de $50\,000$ bactéries par mL. Déterminer, à $0{,}1$ heure près, au bout de combien de temps, puis écrire un programme Python qui affiche ce seuil.

Correction

On résout

1\,000\times1{,}26^{t}\gt 50\,000

. Avec la calculatrice :

$N\left(16\right)\approx40\,358$ et $N\left(17\right)\approx50\,851$ : le seuil est entre $16$ et $17$ h ;
$N\left(16{,}9\right)\approx49\,689\lt 50\,000$ et $N\left(17\right)\approx50\,851\gt 50\,000$ .

Le lait n'est plus consommable au bout d'environ

17

heures.

k = 0
while 1000*1.26**(k/10) <= 50000:
k = k + 1
print(k/10)

Le programme affiche 17.0.

Barème :

1

point pour l'encadrement,

0{,}5

point pour la conclusion,

1

point pour le programme.

Signaler une erreur

Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.

Devoir n°1 : fonctions exponentielles - Exercice 3

Justifier cette modélisation.

Donner le sens de variation de NNN sur [0;+∞[\left[0;+\infty\right[[0;+∞[.

Calculer le nombre de bactéries par mL au bout de 303030 minutes, puis au bout de 111 h 303030 min (arrondir à l'unité).

Calculer 1,2631{,}26^{3}1,263 au dix-millième. En déduire que le nombre de bactéries double environ toutes les 333 heures.

Résoudre graphiquement N(t)=8 000N\left(t\right)=8\,000N(t)=8000. Ce résultat est-il cohérent avec la question précédente ?

Sans calculatrice, à l'aide de 210≈1032^{10}\approx10^{3}210≈103, donner un ordre de grandeur de N(30)N\left(30\right)N(30). Vérifier à la calculatrice.

Le lait n'est plus consommable au-delà de 50 00050\,00050000 bactéries par mL. Déterminer, à 0,10{,}10,1 heure près, au bout de combien de temps, puis écrire un programme Python qui affiche ce seuil.

Donner le sens de variation de $N$ sur $\left[0;+\infty\right[$ .

Calculer le nombre de bactéries par mL au bout de $30$ minutes, puis au bout de $1$ h $30$ min (arrondir à l'unité).

Calculer $1{,}26^{3}$ au dix-millième. En déduire que le nombre de bactéries double environ toutes les $3$ heures.

Résoudre graphiquement $N\left(t\right)=8\,000$ . Ce résultat est-il cohérent avec la question précédente ?

Sans calculatrice, à l'aide de $2^{10}\approx10^{3}$ , donner un ordre de grandeur de $N\left(30\right)$ . Vérifier à la calculatrice.

Le lait n'est plus consommable au-delà de $50\,000$ bactéries par mL. Déterminer, à $0{,}1$ heure près, au bout de combien de temps, puis écrire un programme Python qui affiche ce seuil.