Déterminer le taux d'évolution moyen de nn évolutions successives différentes - Exercice 1

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Le prix d'un abonnement a augmenté de 10%10\% la première année, a baissé de 5%5\% la deuxième année, puis a augmenté de 20%20\% la troisième année.
Question 1

Calculer le coefficient multiplicateur global et le taux d'évolution global sur les trois ans.

Correction
Une grandeur subit nn évolutions successives de coefficients multiplicateurs c1c_{1}, c2c_{2}, …, cnc_{n}.
  • Le coefficient multiplicateur global est C=c1×c2×…×cnC=c_{1}\times c_{2}\times\ldots\times c_{n}.
  • Le taux d'évolution moyen tt est le taux qui, appliqué nn fois, donne la même évolution globale : (1+t)n=C{\left(1+t\right)}^{n}=C, d'où t=C1n−1t=C^{\frac{1}{n}}-1.
  • Attention : le taux moyen n’est pas\red{\text{n'est pas}} la moyenne des taux.
Les coefficients multiplicateurs sont :
  • c1=1+10100=1,1c_{1}=1+\frac{10}{100}=1{,}1 ;
  • c2=1−5100=0,95c_{2}=1-\frac{5}{100}=0{,}95 ;
  • c3=1+20100=1,2c_{3}=1+\frac{20}{100}=1{,}2.
C=1,1×0,95×1,2=1,254C=1{,}1\times0{,}95\times1{,}2=1{,}254 et 1,254=1+25,41001{,}254=1+\frac{25{,}4}{100}.
C=1,254C=1{,}254
soit une hausse globale de
25,4%25{,}4\%

Question 2

Déterminer le taux d'évolution annuel moyen, arrondi à 0,01%0{,}01\%.

Correction
Le taux moyen tt vérifie (1+t)3=1,254{\left(1+t\right)}^{3}=1{,}254. En détaillant les étapes :
1+t=1,254131+t=1{,}254^{\frac{1}{3}}
t=1,25413−1t=1{,}254^{\frac{1}{3}}-1
t≈0,0784t\approx0{,}0784 à 10−410^{-4} près
Ainsi :
t≈7,84%t\approx7{,}84\%

Le prix a augmenté en moyenne d'environ 7,84%7{,}84\% par an.
Question 3

Un élève calcule la moyenne des trois taux : 10−5+203≈8,33%\frac{10-5+20}{3}\approx8{,}33\%. Montrer que ce n'est pas le taux moyen.

Correction
Si le prix augmentait de 8,33%8{,}33\% chaque année pendant 33 ans, il serait multiplié par (1+25300)3≈1,2714{\left(1+\frac{25}{300}\right)}^{3}\approx1{,}2714, soit +27,14%+27{,}14\% : ce n'est pas la hausse réelle de 25,4%25{,}4\%.
Avec le taux moyen : 1,07843≈1,25411{,}0784^{3}\approx1{,}2541, on retrouve bien environ 1,2541{,}254.
La moyenne des taux (8,33%8{,}33\%) n'est pas le taux moyen (7,84%7{,}84\%).
Les pourcentages se multiplient : on ne fait pas la moyenne des taux.

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