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Déterminer le sens de variations des fonctions exponentielles de la forme x↦kaxx\mapsto ka^{x} - Exercice 1

10 min
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Déterminer le sens de variation des fonctions suivantes :
Question 1

f(x)=2×4x f\left(x\right)=2\times 4^{x}

Correction
    Soient k{\color{blue}{k}} un réel et a{\color{purple}{a}} un réel strictement positif .
  • Si k>0{\color{blue}{k>0}} et 0<a<1{\color{purple}{0<a<1}} alors f(x)=kax f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si k>0{\color{blue}{k>0}} et a>1{\color{purple}{a>1}} alors f(x)=kax f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R} .
    • Soit f(x)=2×4x f\left(x\right)={\color{blue}{2}}\times {\color{purple}{4}}^{x} où a=4>1{\color{purple}{a=4>1}} et 2>0{\color{blue}{2>0}}.
    Il en résulte donc que f(x)=2×4x f\left(x\right)=2\times 4^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R}
    Question 2

    f(x)=0,3×0,5x f\left(x\right)=0,3\times 0,5^{x}

    Correction
      Soient k{\color{blue}{k}} un réel et a{\color{purple}{a}} un réel strictement positif .
  • Si k>0{\color{blue}{k>0}} et 0<a<1{\color{purple}{0<a<1}} alors f(x)=kax f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si k>0{\color{blue}{k>0}} et a>1{\color{purple}{a>1}} alors f(x)=kax f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R} .
    • Soit f(x)=0,3×0,5x f\left(x\right)={\color{blue}{0,3}}\times {\color{purple}{0,5}}^{x} où 0<a=0,5<1{\color{purple}{0<a=0,5<1}} et 0,3>0{\color{blue}{0,3>0}}.
    Il en résulte donc que f(x)=0,3×0,5x f\left(x\right)=0,3\times 0,5^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur R\mathbb{R}
    Question 3

    f(x)=2x f\left(x\right)=2^{x}

    Correction
      Soient k{\color{blue}{k}} un réel et a{\color{purple}{a}} un réel strictement positif .
  • Si k>0{\color{blue}{k>0}} et 0<a<1{\color{purple}{0<a<1}} alors f(x)=kax f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si k>0{\color{blue}{k>0}} et a>1{\color{purple}{a>1}} alors f(x)=kax f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R} .
    • Soit f(x)=2x f\left(x\right)=2^{x} que l'on peut écrire f(x)=1×2x f\left(x\right)={\color{blue}{1}}\times {\color{purple}{2}}^{x} où a=2>1{\color{purple}{a=2>1}} et 1>0{\color{blue}{1>0}}.
    Il en résulte donc que f(x)=2x f\left(x\right)=2^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R}