De la suite géométrique à la fonction $x\mapsto a^{x}$ (exposant $\frac{1}{n}$ ) - Exercice 3

10 min

Le nombre de ventes en ligne d'une boutique est multiplié par

1{,}21

tous les deux ans. On suppose que, chaque année, il est multiplié par un même coefficient

c>0

Question 1

Justifier que $c^{2}=1{,}21$ , puis calculer $c$ . En déduire le taux d'évolution annuel des ventes.

Correction

En deux ans, les ventes sont multipliées par

c

, puis encore par

c

: elles sont multipliées par

c^{2}

. Donc

c^{2}=1{,}21

, c'est-à-dire

c=1{,}21^{\frac{1}{2}}

.
Or

1{,}1^{2}=1{,}21

, donc :

c=1{,}1

1{,}1=1+\frac{10}{100}

: les ventes augmentent de

10\%

par an.

Question 2

Correction

Une année compte deux semestres :

d\times d=d^{2}=1{,}1

. Donc :

d=1{,}1^{\frac{1}{2}}=1{,}1^{0{,}5}\approx1{,}0488

1{,}0488=1+\frac{4{,}88}{100}

: les ventes augmentent d'environ

4{,}88\%

par semestre.

On ne divise pas

10\%

par

2

: deux hausses de

5\%

donnent

1{,}05^{2}=1{,}1025

, soit

+10{,}25\%

par an, et non

+10\%

Question 3

Correction

x

années, les ventes sont multipliées par

1{,}1^{x}

, même si

x

n'est pas entier.

En $5$ ans : $1{,}1^{5}=1{,}610\,51$ : les ventes augmentent d'environ $61\%$ ;
en $2{,}5$ ans : $1{,}1^{2{,}5}\approx1{,}2691$ : elles augmentent d'environ $26{,}91\%$ .

1{,}1^{5}=1{,}610\,51

1{,}1^{2{,}5}\approx1{,}2691

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