De la suite géométrique à la fonction x↦axx\mapsto a^{x} (exposant 1n\frac{1}{n}) - Exercice 2

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Dans cet exercice, on utilise l'exposant 1n\frac{1}{n}, où nn est un entier naturel non nul.
Question 1

Calculer sans calculatrice : 9129^{\frac{1}{2}} ; 8138^{\frac{1}{3}} ; 161416^{\frac{1}{4}} ; 1 000131\,000^{\frac{1}{3}} ; 321532^{\frac{1}{5}}.

Correction
Soit aa un réel strictement positif et nn un entier naturel non nul.
  • a1na^{\frac{1}{n}} est le seul nombre positif\red{\text{seul nombre positif}} dont la puissance nn-ième vaut aa : (a1n)n=a\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{n}=a ;
  • en particulier, a12=a0,5=aa^{\frac{1}{2}}=a^{0{,}5}=\sqrt{a} ;
  • attention : a1na^{\frac{1}{n}} n'est pas égal à an\frac{a}{n}.
On cherche à chaque fois le nombre positif qui, élevé à la puissance nn, redonne le nombre de départ :
  • 32=93^{2}=9, donc 912=39^{\frac{1}{2}}=3 ;
  • 23=2×2×2=82^{3}=2\times2\times2=8, donc 813=28^{\frac{1}{3}}=2 ;
  • 24=162^{4}=16, donc 1614=216^{\frac{1}{4}}=2 ;
  • 103=1 00010^{3}=1\,000, donc 1 00013=101\,000^{\frac{1}{3}}=10 ;
  • 25=322^{5}=32, donc 3215=232^{\frac{1}{5}}=2.
912=39^{\frac{1}{2}}=3
;
813=28^{\frac{1}{3}}=2
;
1614=216^{\frac{1}{4}}=2
;
1 00013=101\,000^{\frac{1}{3}}=10
;
3215=232^{\frac{1}{5}}=2

Question 2

Calculer sans calculatrice : 1,44121{,}44^{\frac{1}{2}} ; 0,008130{,}008^{\frac{1}{3}} ; 0,0625140{,}0625^{\frac{1}{4}}.

Correction
On cherche le nombre positif qui, élevé à la puissance 22, 33 ou 44, redonne le nombre :
  • 1,22=1,441{,}2^{2}=1{,}44, donc 1,4412=1,21{,}44^{\frac{1}{2}}=1{,}2 ;
  • 0,23=0,2×0,2×0,2=0,0080{,}2^{3}=0{,}2\times0{,}2\times0{,}2=0{,}008, donc 0,00813=0,20{,}008^{\frac{1}{3}}=0{,}2 ;
  • 0,54=0,06250{,}5^{4}=0{,}0625, donc 0,062514=0,50{,}0625^{\frac{1}{4}}=0{,}5.
1,4412=1,21{,}44^{\frac{1}{2}}=1{,}2
;
0,00813=0,20{,}008^{\frac{1}{3}}=0{,}2
;
0,062514=0,50{,}0625^{\frac{1}{4}}=0{,}5
Question 3

À l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée au millième de 5125^{\frac{1}{2}}, 101310^{\frac{1}{3}} et 1,5141{,}5^{\frac{1}{4}}. Vérifier le premier résultat en l'élevant au carré.

Correction
On tape « 5^(1/2) », avec des parenthèses autour de l'exposant :
512≈2,2365^{\frac{1}{2}}\approx2{,}236 ; 1013≈2,15410^{\frac{1}{3}}\approx2{,}154 ; 1,514≈1,1071{,}5^{\frac{1}{4}}\approx1{,}107.
Vérification : 2,2362=4,999 696≈52{,}236^{2}=4{,}999\,696\approx5.
Sans parenthèses, « 5^1/2 » calcule 515^{1}, puis divise par 22 : la calculatrice affiche 2,52{,}5, ce qui est faux.
Question 4

Un élève affirme : « 912=92=4,59^{\frac{1}{2}}=\frac{9}{2}=4{,}5 ». A-t-il raison ?

Correction
Si c'était vrai, on aurait 4,52=94{,}5^{2}=9. Or 4,52=20,254{,}5^{2}=20{,}25 : ce n'est pas 99.
9129^{\frac{1}{2}} est le nombre positif dont le carré vaut 99 : c'est 33.
L'élève a tort : 912=39^{\frac{1}{2}}=3.
Un exposant 12\frac{1}{2} ne divise pas le nombre par 22 : il donne sa racine carrée.

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