De la suite géométrique à la fonction $x\mapsto a^{x}$ (exposant $\frac{1}{n}$ ) - Exercice 1

10 min

Une population de bactéries double toutes les heures. Au départ, il y a

1

millier de bactéries. On note

u\left(n\right)

le nombre de bactéries, en milliers, au bout de

n

heures (

n

entier naturel).

Question 1

Calculer $u\left(1\right)$ , $u\left(2\right)$ , $u\left(3\right)$ , $u\left(4\right)$ et $u\left(5\right)$ , puis représenter les points de coordonnées $\left(n;u\left(n\right)\right)$ pour $n$ allant de $0$ à $5$ .

Correction

La population double chaque heure : d'une heure à la suivante, on multiplie par

2

. La suite

u

est donc géométrique de raison

2

et de premier terme

u\left(0\right)=1

u\left(n\right)=1\times2^{n}=2^{n}

Par exemple

u\left(5\right)=2^{5}=32

: au bout de

5

heures, il y a

32

milliers de bactéries.

Question 2

On cherche le nombre de bactéries au bout d'une demi-heure. On admet que, sur chaque demi-heure, la population est multipliée par un même nombre $c>0$ . Justifier que $c^{2}=2$ , puis en déduire $c$ et le nombre de bactéries au bout de $30$ minutes.

Correction

En une heure, il y a deux demi-heures : la population est multipliée par

c

, puis encore par

c

, c'est-à-dire par

c\times c=c^{2}

.
Or, en une heure, elle est multipliée par

2

. Donc :

c^{2}=2

Comme

c>0

c

est le nombre positif dont le carré vaut

2

c=\sqrt{2}\approx1{,}414

.
Au bout d'une demi-heure, le nombre de bactéries, en milliers, est

1\times\sqrt{2}

\sqrt{2}\approx1{,}414

Au bout de

30

minutes, il y a environ

1\,414

bactéries.

Question 3

On remarque que $\sqrt{2}=\sqrt{1\times2}$ : c'est la moyenne géométrique des ordonnées des points d'abscisses $0$ et $1$ . De la même façon, calculer les ordonnées des points d'abscisses $1{,}5$ et $2{,}5$ , arrondies au millième, puis placer ces points.

Correction

1{,}5

est le milieu de

1

2

(moyenne arithmétique des abscisses). L'ordonnée du point d'abscisse

1{,}5

est la moyenne géométrique de

u\left(1\right)=2

u\left(2\right)=4

\sqrt{2\times4}=\sqrt{8}\approx2{,}828

De même,

2{,}5

est le milieu de

2

3

: on utilise

u\left(2\right)=4

u\left(3\right)=8

\sqrt{4\times8}=\sqrt{32}\approx5{,}657

Les nouveaux points se placent entre les points de la suite : le nuage de points se « remplit ».

Question 4

À la calculatrice, calculer $2^{0{,}5}$ , $2^{1{,}5}$ et $2^{2{,}5}$ . Que constate-t-on ?

Correction

On tape par exemple « 2^0.5 » :

2^{0{,}5}\approx1{,}414

;

2^{1{,}5}\approx2{,}828

;

2^{2{,}5}\approx5{,}657

.
On retrouve exactement les ordonnées des points intermédiaires : la formule $2^{n}$ reste valable pour des exposants non entiers.

Soit

a

un réel strictement positif. La suite géométrique

u\left(n\right)=a^{n}

n'est définie que pour les entiers naturels

n

. On la prolonge par la fonction exponentielle de base

a

, définie sur

\left[0;+\infty\right[

par

f\left(x\right)=a^{x}

la courbe de $f$ passe par tous les points $\left(n;a^{n}\right)$ de la suite ;
le point d'abscisse $\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$ (moyenne $\red{\text{arithmétique}}$ des abscisses) a pour ordonnée $\sqrt{a^{x_{1}}\times a^{x_{2}}}$ (moyenne $\red{\text{géométrique}}$ des ordonnées) ;
la calculatrice donne directement $a^{x}$ pour tout réel $x\geqslant0$ (touche ^).

On peut donc modéliser le nombre de bactéries, en milliers, au bout de

x

heures, pour tout réel

x\geqslant0

, par :

f\left(x\right)=2^{x}

Question 5

Par la même méthode, calculer une valeur approchée du nombre de bactéries au bout d'un quart d'heure, puis vérifier avec la calculatrice.

Correction

Un quart d'heure, c'est

x=0{,}25

heure : c'est le milieu de

0

0{,}5

.
L'ordonnée du point d'abscisse

0{,}25

est la moyenne géométrique de

f\left(0\right)=1

f\left(0{,}5\right)=\sqrt{2}

\sqrt{1\times\sqrt{2}}\approx1{,}189

Vérification : à la calculatrice,

2^{0{,}25}\approx1{,}189

Au bout d'un quart d'heure, il y a environ

1\,189

bactéries.

Signaler une erreur

Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.

De la suite géométrique à la fonction x↦axx\mapsto a^{x}x↦ax (exposant 1n\frac{1}{n}n1​) - Exercice 1

Calculer u(1)u\left(1\right)u(1), u(2)u\left(2\right)u(2), u(3)u\left(3\right)u(3), u(4)u\left(4\right)u(4) et u(5)u\left(5\right)u(5), puis représenter les points de coordonnées (n;u(n))\left(n;u\left(n\right)\right)(n;u(n)) pour nnn allant de 000 à 555.

On cherche le nombre de bactéries au bout d'une demi-heure. On admet que, sur chaque demi-heure, la population est multipliée par un même nombre c>0c>0c>0. Justifier que c2=2c^{2}=2c2=2, puis en déduire ccc et le nombre de bactéries au bout de 303030 minutes.

On remarque que 2=1×2\sqrt{2}=\sqrt{1\times2}2​=1×2​ : c'est la moyenne géométrique des ordonnées des points d'abscisses 000 et 111. De la même façon, calculer les ordonnées des points d'abscisses 1,51{,}51,5 et 2,52{,}52,5, arrondies au millième, puis placer ces points.

À la calculatrice, calculer 20,52^{0{,}5}20,5, 21,52^{1{,}5}21,5 et 22,52^{2{,}5}22,5. Que constate-t-on ?

Par la même méthode, calculer une valeur approchée du nombre de bactéries au bout d'un quart d'heure, puis vérifier avec la calculatrice.

De la suite géométrique à la fonction $x\mapsto a^{x}$ (exposant $\frac{1}{n}$ ) - Exercice 1

Calculer $u\left(1\right)$ , $u\left(2\right)$ , $u\left(3\right)$ , $u\left(4\right)$ et $u\left(5\right)$ , puis représenter les points de coordonnées $\left(n;u\left(n\right)\right)$ pour $n$ allant de $0$ à $5$ .

On cherche le nombre de bactéries au bout d'une demi-heure. On admet que, sur chaque demi-heure, la population est multipliée par un même nombre $c>0$ . Justifier que $c^{2}=2$ , puis en déduire $c$ et le nombre de bactéries au bout de $30$ minutes.

On remarque que $\sqrt{2}=\sqrt{1\times2}$ : c'est la moyenne géométrique des ordonnées des points d'abscisses $0$ et $1$ . De la même façon, calculer les ordonnées des points d'abscisses $1{,}5$ et $2{,}5$ , arrondies au millième, puis placer ces points.

À la calculatrice, calculer $2^{0{,}5}$ , $2^{1{,}5}$ et $2^{2{,}5}$ . Que constate-t-on ?