Résoudre graphiquement une équation, une inéquation - Exercice 1

10 min

On a tracé ci-dessous la droite représentative d'une fonction affine

f

définie sur

\mathbb{R}

Question 1

Lire graphiquement l'image de $4$ par $f$ , puis l'antécédent de $0$ par $f$ .

Correction

On lit les coordonnées des points de la droite :

le point de la droite d'abscisse $4$ a pour ordonnée $1$ , donc $f\left(4\right)=1$ ;
le point de la droite d'ordonnée $0$ (sur l'axe des abscisses) a pour abscisse $2$ , donc l'antécédent de $0$ par $f$ est $2$ .

f\left(4\right)=1

f\left(2\right)=0

Question 2

Résoudre graphiquement l'équation $f\left(x\right)=2$ .

Correction

Résoudre graphiquement :

$f\left(x\right)=k$ : on cherche les abscisses des points de la courbe d'ordonnée $k$ (intersection avec la droite horizontale d'équation $y=k$ ) ;
$f\left(x\right)< k$ : on cherche les abscisses des points de la courbe situés strictement en dessous de la droite d'équation $y=k$ ;
le signe de $f\left(x\right)$ : la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses quand $f\left(x\right)>0$ , en dessous quand $f\left(x\right)<0$ .

On trace la droite horizontale d'équation

y=2

: elle coupe la droite représentative de

f

en un seul point, d'abscisse

6

.
La solution de l'équation est alors :

S=\left\{6\right\}

Question 3

Résoudre graphiquement l'inéquation $f\left(x\right)<2$ .

Correction

Résoudre graphiquement :

$f\left(x\right)=k$ : on cherche les abscisses des points de la courbe d'ordonnée $k$ (intersection avec la droite horizontale d'équation $y=k$ ) ;
$f\left(x\right)< k$ : on cherche les abscisses des points de la courbe situés strictement en dessous de la droite d'équation $y=k$ ;
le signe de $f\left(x\right)$ : la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses quand $f\left(x\right)>0$ , en dessous quand $f\left(x\right)<0$ .

Les points de la droite situés strictement en dessous de la droite d'équation

y=2

sont ceux d'abscisse strictement inférieure à

6

(en rouge).
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :

S=\left]-\infty ;6\right[

On ne prend pas

6

: pour

x=6

, on a

f\left(x\right)=2

, et l'inégalité est stricte.

Question 4

Dresser le tableau de signe de $f$ d'après le graphique.

Correction

Résoudre graphiquement :

$f\left(x\right)=k$ : on cherche les abscisses des points de la courbe d'ordonnée $k$ (intersection avec la droite horizontale d'équation $y=k$ ) ;
$f\left(x\right)< k$ : on cherche les abscisses des points de la courbe situés strictement en dessous de la droite d'équation $y=k$ ;
le signe de $f\left(x\right)$ : la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses quand $f\left(x\right)>0$ , en dessous quand $f\left(x\right)<0$ .

La droite coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse

2

;

pour $x<2$ , la droite est en dessous de l'axe des abscisses : $f\left(x\right)<0$ ;
pour $x>2$ , elle est au-dessus : $f\left(x\right)>0$ .

Question 5

On admet que $f\left(x\right)=0,5x-1$ . Retrouver par le calcul les résultats des questions précédentes.

Correction

$f\left(4\right)=0,5\times4-1=2-1=1$ ;
$f\left(x\right)=0$ équivaut à $0,5x-1=0$ , c'est-à-dire $0,5x=1$ , soit $x=\frac{1}{0,5}=2$ ;

f\left(x\right)=2

équivaut successivement à :

0,5x-1=2

0,5x=3

x=\frac{3}{0,5}

x=6

f\left(x\right)<2

équivaut successivement à :

0,5x-1<2

0,5x<3

x<\frac{3}{0,5}

\;\;

On garde le sens de l'inégalité car on divise par $\red{0,5}$ , qui est positif.

x<6

On retrouve bien les résultats lus sur le graphique.

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Résoudre graphiquement une équation, une inéquation - Exercice 1

Lire graphiquement l'image de 444 par fff, puis l'antécédent de 000 par fff.

Résoudre graphiquement l'équation f(x)=2f\left(x\right)=2f(x)=2.

Résoudre graphiquement l'inéquation f(x)<2f\left(x\right)<2f(x)<2.

Dresser le tableau de signe de fff d'après le graphique.

On admet que f(x)=0,5x−1f\left(x\right)=0,5x-1f(x)=0,5x−1. Retrouver par le calcul les résultats des questions précédentes.

Lire graphiquement l'image de $4$ par $f$ , puis l'antécédent de $0$ par $f$ .

Résoudre graphiquement l'équation $f\left(x\right)=2$ .

Résoudre graphiquement l'inéquation $f\left(x\right)<2$ .

Dresser le tableau de signe de $f$ d'après le graphique.

On admet que $f\left(x\right)=0,5x-1$ . Retrouver par le calcul les résultats des questions précédentes.