Modéliser une croissance linéaire et résoudre un problème de seuil - Exercice 1

10 min
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Aux États-Unis, les températures sont données en degrés Fahrenheit (°F). L'eau gèle à 00 °C, soit 3232 °F, et elle bout à 100100 °C, soit 212212 °F.
On admet que la température FF, en °F, est une fonction affine de la température CC, en °C : F=f(C)=mC+pF=f\left(C\right)=mC+p.
Question 1

Déterminer mm et pp.

Correction
Calcul de pp. Pour C=0C=0, on a F=32F=32 : f(0)=m×0+p=pf\left(0\right)=m\times0+p=p, donc
p=32p=32
Calcul de mm. Les points de coordonnées (0;32)\left(0;32\right) et (100;212)\left(100;212\right) sont sur la droite représentative de ff :
m=f(100)−f(0)100−0m=\frac{f\left(100\right)-f\left(0\right)}{100-0}
m=212−32100m=\frac{212-32}{100}
m=180100m=\frac{180}{100}
m=1,8m=1,8

Finalement, pour tout CC :
f(C)=1,8C+32f\left(C\right)=1,8C+32

Question 2

Interpréter le coefficient directeur mm dans le contexte.

Correction
Le coefficient directeur est la variation de FF quand CC augmente de 11 :
quand la température augmente de 11 °C, elle augmente de 1,81,8 °F.
Un écart de 11 °F est donc plus petit qu'un écart de 11 °C.
Question 3

La température normale du corps humain est de 3737 °C. Combien cela fait-il en °F ?

Correction
f(37)=1,8×37+32f\left(37\right)=1,8\times37+32
f(37)=66,6+32f\left(37\right)=66,6+32
f(37)=98,6f\left(37\right)=98,6

3737 °C correspondent à 98,698,6 °F.
Question 4

Un thermomètre américain affiche 5050 °F. Quelle est la température en °C ?

Correction
On cherche CC tel que f(C)=50f\left(C\right)=50.
1,8C+32=501,8C+32=50 équivaut successivement à :
1,8C=50−321,8C=50-32
1,8C=181,8C=18
C=181,8C=\frac{18}{1,8}
C=10C=10

5050 °F correspondent à 1010 °C.
Question 5

À partir de quelle température, en °C, un thermomètre en °F affiche-t-il plus de 100100 °F ? Donner la valeur arrondie au dixième.

Correction
Pour résoudre un problème de seuil (« à partir de quand la grandeur dépasse-t-elle telle valeur ? ») :
  • on écrit l'inéquation qui traduit la question ;
  • on la résout ;
  • on conclut en revenant au contexte : si la variable est un nombre entier (de mois, d'années…), on prend le premier entier qui convient, et on le vérifie.
On résout f(C)>100f\left(C\right)>100 :
1,8C+32>1001,8C+32>100 équivaut successivement à :
1,8C>681,8C>68
C>681,8C>\frac{68}{1,8}     \;\; On garde le sens de l'inégalité car on divise par 1,8\red{1,8}, qui est positif.
C>37,77…C>37,77\ldots
Le thermomètre affiche plus de 100100 °F dès que la température dépasse environ 37,837,8 °C.
Aux États-Unis, 100100 °F est souvent utilisé comme seuil de fièvre.
Question 6

Existe-t-il une température qui s'écrit avec le même nombre dans les deux unités ?

Correction
On cherche CC tel que f(C)=Cf\left(C\right)=C.
1,8C+32=C1,8C+32=C équivaut successivement à :
1,8C−C=−321,8C-C=-32
0,8C=−320,8C=-32
C=−320,8C=\frac{-32}{0,8}
C=−40C=-40

−40-40 °C et −40-40 °F désignent la même température. Graphiquement, c'est le point d'intersection de la droite représentative de ff avec la droite d'équation y=xy=x.

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