Fonction affine par morceaux : l'impôt sur le revenu - Exercice 1

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Dans un pays imaginaire, inspiré du système français, l'impôt sur le revenu annuel RR (en euros) se calcule par tranches :
  • la part du revenu comprise entre 00 et 10 00010\,000 € n'est pas imposée ;
  • la part comprise entre 10 00010\,000 € et 30 00030\,000 € est imposée à 10 %10\,\% ;
  • la part comprise entre 30 00030\,000 € et 80 00080\,000 € est imposée à 30 %30\,\% ;
  • la part au-delà de 80 00080\,000 € est imposée à 40 %40\,\%.

On note I(R)I\left(R\right) l'impôt, en euros, pour un revenu annuel RR.
Question 1

Calculer l'impôt pour un revenu de 8 0008\,000 €, de 25 00025\,000 € puis de 50 00050\,000 €.

Correction
  • R=8 000R=8\,000 : tout le revenu est dans la première tranche, non imposée : I(8 000)=0I\left(8\,000\right)=0 €.
  • R=25 000R=25\,000 : la part entre 10 00010\,000 € et 25 00025\,000 €, soit 15 00015\,000 €, est imposée à 10 %10\,\% : I(25 000)=0,10×15 000=1 500I\left(25\,000\right)=0,10\times15\,000=1\,500 €.
  • R=50 000R=50\,000 : la deuxième tranche est entièrement remplie : 0,10×20 000=2 0000,10\times20\,000=2\,000 € ; la part entre 30 00030\,000 € et 50 00050\,000 €, soit 20 00020\,000 €, est imposée à 30 %30\,\% : 0,30×20 000=6 0000,30\times20\,000=6\,000 €.
Donc I(50 000)=2 000+6 000=8 000I\left(50\,000\right)=2\,000+6\,000=8\,000 €.
Question 2

Montrer que, pour 30 000≤R≤80 00030\,000\le R\le 80\,000, I(R)=0,3R−7 000I\left(R\right)=0,3R-7\,000.

Correction
Pour un revenu RR compris entre 30 00030\,000 € et 80 00080\,000 € :
  • la tranche à 10 %10\,\% est entièrement remplie : elle rapporte 2 0002\,000 € ;
  • la part du revenu au-delà de 30 00030\,000 €, soit R−30 000R-30\,000, est imposée à 30 %30\,\%.
I(R)=2 000+0,3(R−30 000)I\left(R\right)=2\,000+0,3\left(R-30\,000\right)
I(R)=2 000+0,3R−9 000I\left(R\right)=2\,000+0,3R-9\,000
I(R)=0,3R−7 000I\left(R\right)=0,3R-7\,000
Vérification : I(50 000)=0,3×50 000−7 000=15 000−7 000=8 000I\left(50\,000\right)=0,3\times50\,000-7\,000=15\,000-7\,000=8\,000 €.
Question 3

Sur chaque tranche, la fonction II est affine : son coefficient directeur est le taux de la tranche, appelé taux marginal. Tracer la courbe de II pour 0≤R≤100 0000\le R\le 100\,000.

Correction
On calcule l'impôt aux bornes des tranches : I(10 000)=0I\left(10\,000\right)=0 ; I(30 000)=2 000I\left(30\,000\right)=2\,000 ; I(80 000)=2 000+0,3×50 000=17 000I\left(80\,000\right)=2\,000+0,3\times50\,000=17\,000 ; I(100 000)=17 000+0,4×20 000=25 000I\left(100\,000\right)=17\,000+0,4\times20\,000=25\,000.
La courbe est formée de segments : plus le taux marginal est élevé, plus le segment est « pentu ».
Question 4

Pour un revenu de 50 00050\,000 €, comparer le taux marginal et le taux moyen d'imposition, égal à I(R)R\frac{I\left(R\right)}{R}.

Correction
Le taux marginal est le taux de la tranche dans laquelle se trouve la fin du revenu : ici 30 %30\,\%.
Le taux moyen est I(50 000)50 000=8 00050 000=0,16\frac{I\left(50\,000\right)}{50\,000}=\frac{8\,000}{50\,000}=0,16, soit 16 %16\,\%.
Taux marginal : 30 %30\,\% ; taux moyen : 16 %16\,\%.

Le taux moyen est plus faible, car les premières tranches du revenu sont peu ou pas imposées.
Question 5

Paul gagne 30 00030\,000 € par an. Il dit : « Si je gagne 100100 € de plus, je passe dans la tranche à 30 %30\,\% et je vais payer 30 %30\,\% sur tout mon revenu. » A-t-il raison ?

Correction
I(30 000)=2 000I\left(30\,000\right)=2\,000 € et I(30 100)=0,3×30 100−7 000=9 030−7 000=2 030I\left(30\,100\right)=0,3\times30\,100-7\,000=9\,030-7\,000=2\,030 €.
Son impôt n'augmente que de 3030 € : seuls les 100100 € supplémentaires sont imposés à 30 %30\,\%.
Paul a tort.
La courbe de l'impôt ne fait pas de « saut » quand on change de tranche : les segments se raccordent.

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