Croissance linéaire : fonctions affines et suites arithmétiques - Exercice 1

10 min

On a relevé chaque année trois grandeurs, notées

u

v

w

(

n

est le nombre d'années écoulées depuis le premier relevé).

Question 1

Laquelle ou lesquelles de ces grandeurs ont une croissance (ou une décroissance) linéaire ? Justifier.

Correction

Une grandeur a une croissance linéaire (ou décroissance linéaire) quand elle varie toujours de la même quantité pour une même durée :

si la grandeur évolue de façon continue, on la modélise par une fonction affine $x\mapsto mx+p$ ;
si on la relève à intervalles réguliers (chaque année, chaque mois…), on la modélise par une suite arithmétique : $u\left(n+1\right)=u\left(n\right)+r$ , et alors $u\left(n\right)=u\left(0\right)+nr$ .

Le coefficient directeur

m

(ou la raison

r

) est la variation de la grandeur par unité : s'il est positif, la grandeur augmente ; s'il est négatif, elle diminue.

On calcule les différences entre deux termes consécutifs :

pour $u$ : $8-5=3$ ; $11-8=3$ ; $14-11=3$ ; $17-14=3$ . On ajoute toujours $3$ : croissance linéaire ;
pour $v$ : $6-3=3$ ; $12-6=6$ ; $24-12=12$ … Les différences ne sont pas constantes (on multiplie par $2$ à chaque fois) : ce n'est pas une croissance linéaire ;
pour $w$ : $92-100=-8$ ; $84-92=-8$ ; $76-84=-8$ ; $68-76=-8$ . On ajoute toujours $-8$ : décroissance linéaire.

Les grandeurs

u

w

ont une évolution linéaire ;

v

n'en a pas.

Question 2

Correction

Une suite

u

est arithmétique de raison

r

si, pour tout entier naturel

n

u\left(n+1\right)=u\left(n\right)+r

: on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre

r

Terme de rang $n$ : $u\left(n\right)=u\left(0\right)+n\times r$ .
Si $r>0$ , la suite est croissante ; si $r<0$ , elle est décroissante (comme une fonction affine de coefficient directeur $m=r$ ).
Les points de coordonnées $\left(n;u\left(n\right)\right)$ sont alignés sur la droite d'équation $y=rx+u\left(0\right)$ .

$u$ est la suite arithmétique de premier terme $u\left(0\right)=5$ et de raison $3$ : $u\left(n+1\right)=u\left(n\right)+3$ et
$u\left(n\right)=5+3n$
$w$ est la suite arithmétique de premier terme $w\left(0\right)=100$ et de raison $-8$ : $w\left(n+1\right)=w\left(n\right)-8$ et
$w\left(n\right)=100-8n$

Vérification :

u\left(4\right)=5+3\times4=17

w\left(4\right)=100-8\times4=68

, comme dans le tableau.

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